5.2 向量数量积的坐标表示 【课前预习】 知识点 x1x2+y1y2 坐标的乘积的和 (1)x2+y2 (x2-x1,y2-y1) (2) x1x2+y1y2=0 诊断分析 (1)√ (2)× (3)× (4)× 【课中探究】 探究点一 例1 (1)C [解析] ∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1. (2)解:以A为原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB=,BC=2,∴A(0,0),B(,0),C(,2),D(0,2).∵点E在边CD上,且=2,∴E,∴=,=,∴·=-+4=. 变式 (1)C [解析] 由题意可得8a-b=(6,3),∵(8a-b)·c=30,c=(3,x),∴18+3x=30,解得x=4. (2)解:在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,所以BC2=AB2+AC2,所以AB⊥AC.以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(0,3),C(4,0),因为点D,E分别是边BC上靠近B,C的三等分点,所以D,E,所以=,=,所以·=·=+2=. 探究点二 例2 C [解析] ∵a=(2,1),∴a2=5,又|a+b|=5,∴(a+b)2=50,即a2+2a·b+b2=50,∴5+2×10+b2=50,∴b2=25,∴|b|=5. 变式 (1)D (2)1或-3 [解析] (1)依题意得a2=2,所以|a|=,a·b=×2×cos 45°=2,所以|3a+b|====. (2)因为ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),且ka-b的模等于,所以=,化简得k2+2k-3=0,解得k=1或k=-3. 探究点三 例3 (1)A (2)3 [解析] (1)因为b-c=(2,-2),所以cos
====.故选A. (2)由题意得2a-3b=(2k-3,-6),c=(2,1),因为(2a-3b)⊥c,所以(2a-3b)·c=4k-6-6=0,解得k=3. 变式 (1)B [解析] 因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),(m+n)⊥(m-n),所以(m+n)·(m-n)=(2λ+3,3)·(-1,-1)=-2λ-6=0,解得λ=-3. (2)解:由a与b的夹角为钝角易知a·b<0,且a,b不共线,即-1+m<0且-m≠1,解得m<1且m≠-1. 探究点四 例4 解:设n⊥l,则n⊥m,连接AP,则=(-2,0). 设n=(x,y),∵n⊥m,∴x-y=0,令y=1,得x=1, 此时n=(1,1),故点P到直线l的距离d===. 变式 解:易知直线AB的方向向量为=(1,-2),连接AP,则=(2,4).设n⊥,且n=(x,y),则n·=(x,y)·(1,-2)=x-2y=0,令x=2,则y=1,此时n=(2,1).故点P(3,5)到直线AB的距离d===.5.2 向量数量积的坐标表示 1.A [解析] a·b=-x+6=3,故x=3. 2.B [解析] 设a与b的夹角为θ,由题知|a|=,|b|=,a·b=5,∴cos θ===,又θ∈[0,π],∴θ=. 3.C [解析] 因为a=(1,2),b=(2,3),所以a+b=(3,5),所以|a+b|==.故选C. 4.C [解析] 由已知得a+2b=(1,2+2t),因为(a+2b)⊥a,所以(a+2b)·a=-1+4+4t=0,解得t=-.故选C. 5.C [解析] ∵a·(b+a)=a·b+a2=2,且|a|=1,∴a·b=1.设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|cos θ=1,∴cos θ=.又θ∈[0,π],∴θ=,即向量a与b的夹角为.故选C. 6.C [解析] 因为a=(1,),所以|a|==2.由|a-b|=,得(a-b)2=7,即a2+b2-2a·b=7,即4+9-2×2×3·cos=7,解得cos=,则=,故选C. 7.C [解析] ∵tan α=-2,∴可设P(x,-2x)(x≠0).设与的夹角为θ,则cos θ==.当x>0时,cos θ=;当x<0时,cos θ=-.故cos θ=±,故选C. 8.AC [解析] 由a=(2,1),可得|a|=,所以A正确;由a=(2,1),b=(-2,4),可得a+b=,因为2×2-1×≠0,所以a与a+b不共线,所以B错误;因为a·b=2×(-2)+1×4=0,所以a⊥b,故C正确;由a=(2,1),b=(-2,4),可得2×4-1×(-2)≠0,故a与b不共线,所以|a+b|≠|a|+|b|,故D错误.故选AC. 9.AD [解析] 不妨设A(2x,2y),B(-1,0),C(1,0),D(0,0),E(x,y).①=(-1-2x,-2y),=(x-1,y),若·=0,则-(2x+1)(x-1)-2y2=0,∴可知满足条件的(x,y)存在,如,∴①成立.②设F为AB的中点,则+=2,CF与AD的交点为△ABC的重心G,可得G为AD的三等分点,又E为AD的中点,∴与不共线,即②不成立.故选AD. 10. [解析] 由题得=(1,2),=(m,0)(m>0),所以||=,||=m,·=m,所以cos<,>===. 11.(,2)或(-,-2) [解析] 设a=(x,y),因为|a|=,b=(1,2),且a∥b,所以解得或所以a=(,2)或a=(-,-2). 12.- [解析] 在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,∠ACB=90°,则BC ... ... 