4．3 等比数列 4．3.1 等比数列的概念 [新课程标准] 1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．掌握等比数列的性质并应用． 3．通过掌握等比数列的定义及公式的应用，培养学生数学抽象、数学运算的核心素养；通过对等比数列性质的应用，培养学生逻辑推理的核心素养． 第一课时 等比数列的概念及通项公式 知识点一 等比数列的概念 (一)教材梳理填空 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0)． 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab. (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)等比数列中至少含有三项．( ) (2)等比数列每相邻两项的比都相同．( ) (3)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( ) (4)任何两个数都有等比中项．( ) (5)若G2＝ab，则G一定是a，b的等比中项．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× 2．下列数列为等比数列的是( ) A．2,22,3×22，… B．，，，… C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0,0,0，… 解析：选B A、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C、D中项可为0，不符合定义． 3．2＋和2－的等比中项是( ) A．1 B．－1 C．±1 D．2 答案：C 4．若数列x，x2，x3，x4，…为等比数列，则x应满足的条件是_____． 答案：x≠0 知识点二 等比数列的通项公式 (一)教材梳理填空 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为an＝a1qn－1. (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)等比数列{an}的首项为a1＝1，公比为2，则an＝2n－1.( ) (2)数列a，a3，a5，a7，…的通项公式为an＝a2n－1.( ) 答案：(1)√ (2)× 2．已知等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－，则a6＝( ) A．1 B．－1 C．2 D． 答案：B 3．在等比数列{an}中，a3＝2，a6＝16，则数列{an}的公比是( ) A．－2 B． C．2 D．4 答案：C 题型一 等比数列的通项公式 [学透用活] [典例1] 在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. [解] 设首项为a1，公比为q. (1)法一：因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2. 法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝. 所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝2. (2)法一：因为 由得q＝，从而a1＝32. 又an＝1，所以32×n－1＝1， 即26－n＝20，所以n＝6. 法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. 等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [对点练清] 1．若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比是( ) A．0 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2 解析：选C 设首项为a1，公比为q，显然a1q≠0.由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，解得q＝－1或q＝2. 2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于( ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选D 因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7. 题型二 等比中项及应用 [学透用活] [典例2] 等比数列{an}的前三项之和为168，a2－a5＝42，求a5与a7的等比中项． [解] 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q. 因为a2－a5＝42，所以q≠1， 由已知得 即 因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， 所以由②除以①，得q(1－q)＝. 所以q＝.所以a1＝＝96. 设G是a5，a7的等比中项， 则G2 ... ...
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