5．1 导数的概念及其意义 5．1.1变化率问题 [新课程标准] 1．借助物理背景了解平均速度与瞬时速度． 2．借助几何背景了解曲线的割线与切线，并会求切线方程． 3．体会极限思想，培养学生数学抽象、数学运算的核心素养． (一)教材梳理填空 1．瞬时速度的定义 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 2．瞬时速度的计算公式 把当＝中Δt无限趋近于0时，＝的极限，记为 ，为物体在t s时的瞬时速度． 3．抛物线的切线的斜率 (1)切线的概念 如图，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线在点P0处的切线． (2)斜率的计算公式 当Δx无限趋近于0时，k＝的极限，记为 . (二)基本知能小试 1．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为( ) A．6＋Δt B．6＋Δt＋ C．3＋Δt D．9＋Δt 答案：A 2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( ) A．6 B．18 C．54 D．81 解析：选B ∵s(t)＝3t2，t0＝3， ∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32 ＝18Δt＋3(Δt)2. ∴ ＝(18＋3Δt)＝18，故应选B. 3．抛物线f(x)＝3x2＋1在点(2,13)处的切线方程为_____． 解析：切线的斜率为 ＝12＋3Δx＝12， ∵切线过点(2,13)， ∴所求切线方程为y－13＝12(x－2)， 即12x－y－11＝0. 答案：12x－y－11＝0 题型一 运动物体的平均速度 [学透用活] [典例1] 已知s(t)＝5t2. (1)求t从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t从3秒到3.01秒的平均速度． [解] (1)＝＝＝＝30.5 (m/s)． (2)＝＝＝＝30.05 (m/s)． 求平均速度的一般步骤 (1)先计算对应值的改变量f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量x2－x1； (3)求平均速度. [对点练清] 1．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A．0.41 B．3 C．4 D．4.1 解析：选D ＝＝4.1. 2.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为( ) A．v2＝v3＜v1 B．v1＜v2＝v3 C．v1＜v2＜v3 D．v2＜v3＜v1 解析：选C 由题意得，v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，由题图易知kOA＜kAB＜kBC，∴v1＜v2＜v3，故选C. 题型二 求瞬时速度 [学透用活] [典例2] 已知质点M做直线运动，且位移(单位：cm)随时间(单位：s)变化的函数为s＝2t2＋3. (1)当t＝2，Δt＝0.01时，求平均速度； (2)求质点M在t＝2时的瞬时速度． [解] ＝＝＝4t＋2Δt. (1)当t＝2，Δt＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)． (2)当t＝2时，瞬时速度v＝＝(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)． 即质点M在t＝2时的瞬时速度为8 cm/s. 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下． (1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))； (2)求平均速度：＝； (3)求瞬时速度v：当Δt→0时，→v(常数)． [对点练清] 一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)． (1)求该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求该质点在t＝1时的瞬时速度． 解：(1)该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝ ＝(－6－3Δt)(m/s)． (2)由(1)知，当Δt趋近于0时，趋近于－6， 所以该质点在t＝1时的瞬时速度为－6 m/s. 题型三 抛物线的切线 [学透用活] [典例3] 已知函数f(x)＝x2，x0＝－2. (1)分别令Δx＝2,1,0.5，求f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的相应割线的斜率，并画出过点(x0，f(x0))的相应割线； (2)求函数f(x)＝x2在x＝x0处的切线的斜率，并画出曲线f(x)＝x2在点(－2,4)处的切线． [解] (1)当Δx＝2,1,0.5时，区间[x0，x0＋Δx]相应为[－2,0] ... ...
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