5．2 导数的运算 5．2.1 基本初等函数的导数 [新课程标准] 1．能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 3．通过导数的计算，培养学生数学运算的核心素养． (一)教材梳理填空 1．几种常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝ f(x)＝x f′(x)＝ f(x)＝x2 f′(x)＝ f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ [微提醒] 对公式y＝xα的理解 (1)y＝xα中，x为自变量，α为常数； (2)它的导数等于指数α与自变量x的(α－1)次幂的乘积，公式对α∈R都成立． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)若y＝，则y′＝×2＝1.( ) (2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．( ) (3)f(x)＝，则f′(x)＝－.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．若y＝cos ，则y′＝( ) A．－ B．－ C．0 D． 答案：C 3．函数y＝在点处切线的倾斜角为( ) A. B． C. D． 答案：B 题型一 利用导数公式求函数的导数 [学透用活] [典例1] 求下列函数的导数： (1)y＝x－5; (2)y＝4x； (3)y＝log3x; (4)y＝sin. [解] (1)y′＝－5x－6. (2)y′＝4xln 4. (3)y′＝. (4)∵y＝sin＝cos x， ∴y′＝－sin x. 求函数的导数的常见类型及解题技巧 (1)对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和差形式． (2)对于根式型函数，可考虑进行有理化变形． (3)对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式． (4)对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导． [对点练清] 1．f(x)＝ln x在x＝e处的导数值为( ) A．0 B． C．1 D．e 解析：选B ∵f(x)＝ln x，∴f′(x)＝.∴f′(e)＝. 2．求下列函数的导数： (1)y＝x；(2)y＝x；(3)y＝logx. 解：(1)y′＝′＝xln＝－xln 2. 题型二 利用导数公式求切线方程 [学透用活] [典例2] 已知曲线y＝. (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程． [解] 因为y＝，所以y′＝－. (1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在点P(1,1)的导数，即k＝f′(1)＝－1. 所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2. (2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上， 则可设过该点的切线的切点为A， 那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－. 则切线方程为y－＝－(x－a)．① 将Q(1,0)代入方程得0－＝－(1－a)． 解得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4. 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． [对点练清] 已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点． (1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程； (2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． 解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点． 所以过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2， 过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4， 所以过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)， 即2x＋y＋1＝0. 过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. (2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1， 所以切线的斜率k＝ ... ...
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