5．2 导数的运算 5．2.3 简单复合函数的导数 [新课程标准] 1．了解复合函数的复合过程． 2．能利用复合函数的求导法则求简单函数的导数． 3．通过复合函数导数的运算，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养． (一)教材梳理填空 1．复合函数的定义 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x. 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [微思考] 函数y＝log2(x2－3x＋5)是由哪些函数复合而成的？ 提示：y＝log2(x2－3x＋5)是由y＝log2u，u＝x2－3x＋5复合而成． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.( ) (2)若f(x)＝sin(x＋1)，则f′(x)＝cos x．( ) 答案：(1)× (2)× 2．下列所给函数为复合函数的是( ) A．y＝ln(x－2) B．y＝ln x＋x－2 C．y＝(x－2)ln x D．y＝ 解析：选A 函数y＝ln(x－2)是由函数y＝ln u和u＝φ(x)＝x－2复合而成的，而B、C、D中的函数分别为函数y＝ln x与函数φ(x)＝x－2的加、乘、商的形式，不符合复合函数的定义，选A. 3．设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝_____. 解析：因为f′(x)＝－－2sin 2x，所以f′(0)＝－. 答案：－ 题型一 求复合函数的导数 [学透用活] (1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数． (2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y′＝(ax＋b)′·f′(ax＋b)＝a·f′(ax＋b)． [典例1] 求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝esin(ax＋b)； (3)y＝sin2； (4)y＝5log2(2x＋1)． (2)设y＝eu，u＝sin v，v＝ax＋b， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝eu·cos v·a ＝acos(ax＋b)·esin(ax＋b)． (3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin vcos v＝2sin 2v＝2sin. (4)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′ ＝＝. [方法技巧] 求复合函数的导数的步骤 [对点练清] 1．函数y＝cos(2x2＋x)的导数y′＝_____. 解析：∵y＝cos(2x2＋x)，∴y′＝－sin(2x2＋x)·(4x＋1)＝－(4x＋1)sin(2x2＋x)． 答案：－(4x＋1)sin(2x2＋x) 2．函数y＝ln 的导数y′＝_____. 解析：y′＝′ ＝·′ ＝·· ＝·＝. 答案： 题型二 与复合函数有关的切线问题 [学透用活] [典例2] 已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f′(x)是f(x)的导函数，且a＝f′，求过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程． [解] 由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x， 得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x， 则a＝f′＝3－2sin＋2cos＝1. 又b＝a3，∴b＝1，∴点P的坐标为(1,1)． 由y＝x3，得y′＝3x2. 当P点为切点时，切线的斜率k＝3×12＝3， ∴曲线y＝x3上以点P为切点的切线方程 为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. 当P点不是切点时，设切点坐标为(x0，x)， 此时切线的斜率k′＝3x， ∴切线方程为y－x＝3x(x－x0)． 将P(1,1)代入切线方程， 得1－x＝3x(1－x0)， ∴2x－3x＋1＝0，∴2x－2x－x＋1＝0， ∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0， 解得x0＝－(x0＝1舍去)， ∴切点坐标为， 又切线的斜率为3×2＝， ∴切线方程为y＋＝， 即3x－4y＋1＝0. 综上，满足题意的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0. 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在求有关切线的问题中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义、导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用． [对点练清] 1． ... ...
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