5．3 导数在研究函数中的应用 5．3.1 函数的单调性 [新课程标准] 1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 3．通过对函数单调性的判断，培养学生数学运算、数学抽象和直观想象的核心素养． (一)教材梳理填空 1．函数的单调性与其导函数正负的关系 在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增； 在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减； 如果在区间(a，b)上恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上是常数函数． 2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较，函数的图象就比较“平缓”． [微思考] 在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？ 提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．( ) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 答案：D 3．函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是_____(填“上升”或“下降”)的． 答案：上升 题型一 判断或讨论函数的单调性 [学透用活] (1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)在此区间上仍然单调递增（单调递减的情形完全类似） ． (2)f(x)在(a，b)上单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)上的任一非空子区间上f′(x)不恒为0. [典例1] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性． [解] 由题设知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3ax，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝. 当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0. ∴f(x)在区间(－∞，0)上单调递增． 若x∈，则f′(x)<0， ∴f(x)在区间上单调递减． 若x∈，则f′(x)>0， ∴f(x)在区间上单调递增． 当a<0时，若x∈，则f′(x)<0， ∴f(x)在上单调递减． 若x∈，则f′(x)>0， ∴f(x)在区间上单调递增． 若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0， ∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减． 1．利用导数判断或证明函数单调性的思路 2．含有参数的函数单调性的解题技巧 讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行分类讨论，但要始终注意定义域以及分类讨论的标准． 含参数的二次不等式问题，一般从最高次项的系数、判别式Δ及根的大小关系等方面进行讨论． [对点练清] 1．试证明：函数f(x)＝在区间(0,2)上单调递增． 证明：由于f(x)＝， 所以f′(x)＝＝. 由于00， 即函数f(x)＝在区间(0,2)上单调递增． 2．讨论函数f(x)＝(－10，则f′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上单调递减； 若b<0，则f′(x)>0，函数f(x)在(0,1)上单调递增． 又函数f(x)是奇函数，而奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性． 综上所述，当b>0时，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当b<0时，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 题型二 求函数的单调区 ... ...
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