5．3 导数在研究函数中的应用 5．3.2 函数的极值与最大(小)值 第一课时 函数的极值 [新课程标准] 1．借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值． 3．通过利用导数研究函数单调性、极值的关系，培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养． (一)教材梳理填空 1．极小值、极大值的概念 极值 极小值 极大值 定 义 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.我们把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.我们把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值 图 象 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． [微提醒] (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值． (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个． (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系． (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． (5)单调函数一定没有极值． 2．求函数y＝f(x)极值的方法 一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是： 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值． [微提醒] 一般来说，“f′(x0)＝0”是“函数y＝f(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数y＝f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则点x0不一定是函数y＝f(x)的极值点． (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( ) (3)函数f(x)＝有极值．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．[多选]下列四个函数，在x＝0处取得极小值的是( ) A．y＝x3 B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x 答案：BC 3．函数f(x)＝x＋2cos x在上的极大值点为( ) A．0 B． C. D． 答案：B 题型一 极值的图象特征 [学透用活] [典例1] 已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( ) A．在(－∞，0)上单调递减 B．在x＝0处取极小值 C．在(4，＋∞)上单调递减 D．在x＝2处取极大值 [解析] 由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0；x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上单调递增，在(0,2)，(4，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在x＝0处取得极大值，x＝2处取得极小值，x＝4处取得极大值，因此选C. [答案] C 解决函数极值与函数、导函数图象的关系问题时，应注意：(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，图象在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数的值是怎样变化的； (2)对于函数的图象，重点考查函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点． [对点练清] [多选]已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是( ) A．函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增 B．函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性 C．函数f(x)在x＝－处取得极大值 D．函数f(x)在x＝1处取得极小值 解析：选AD 观察函数y＝xf′(x)的图象可以发现， 当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，于是f′(x)>0， 故函数f(x)在区间(1，＋ ... ...
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