第四章 3.1 二倍角公式（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）必修 第二册

§3　二倍角的三角函数公式 3.1　二倍角公式 【课前预习】 知识点一 1.sin αcos β+cos αsin β　2sin αcos α 2.cos αcos β-sin αsin β　cos2α-sin2α　2cos2α-1　1-2sin2α 3.　 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√　[解析] (2)二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的,而二倍角的正切公式,要求α≠+kπ且α≠+kπ(k∈Z). (3)当α=kπ(k∈Z)时,sin 2α=2sin α. 知识点二 1.sin 2α　cos 2α　cos 2α　cos 2α　tan 2α 2.2cos2α　2sin2α　2cos2　2sin2　(1+cos 2α) (1-cos 2α) 诊断分析 1.(1) ×　(2)√　[解析] (1)sin 15°cos 15°=sin 30°=. (2)1-2sin222.5°=cos 45°=. 2.解:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)原式===. (2)原式==-=-cos=-. (3)原式=tan(2×150°)=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=-. (4)原式== ====. 变式　(1)-　(2)　[解析] (1)原式==-cos=-. (2)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°=sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°= = = === =. 探究点二 例2　(1)D　(2)　[解析] (1)由sin=-cos=-cos=,得cos=-, 所以cos=2cos2-1=-.故选D. (2)将sin θ-cos θ=两边平方可得sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=,即1-sin 2θ=,所以sin 2θ=. (3)解:由tan α+=,得+=, 则=,即sin 2α=. 因为α∈,所以2α∈, 所以cos 2α=-=-,则sin=sin 2αcos+cos 2αsin=×-×=. 探究点三 例3　(1)-2cos α　(2)1　[解析] (1)原式=-=-=|sin α-cos α|-|sin α+cos α|,∵<α<,∴sin α>cos α>0,∴原式=(sin α-cos α)-(sin α+cos α)=-2cos α. (2)原式== == ==1. 变式　(1)D　(2)0　[解析] (1)原式====tan θ.故选D. (2)∵α为第三象限角,∴cos α<0,sin α<0,∴-=-=-=0. 探究点四 例4　解:S=S△MOE+S△MOF=×2sin x×2cos x+×2sin×2cos=sin 2x+sin= sin 2x-cos 2x=sin,由题意要得到四边形MEOF,则x∈.§3　二倍角的三角函数公式 3.1　二倍角公式 1.B　[解析] sin415°-cos415°=(sin215°+cos215°)(sin215°-cos215°)=1×(-cos 30°)=-. 2.C　[解析] ∵sin α=2sincos=2××=-<0,cos α=cos2-sin2=-=-<0,∴角α是第三象限角.故选C. 3.B　[解析] 因为cos 2α=1-2sin2α=,所以sin α=±,因为α∈(0,π),所以sin α=.故选B. 4.B　[解析] 因为tan α=-2,所以tan 2α===,所以===-.故选B. 5.C　[解析] cos=cos=cos=cos 2=2cos2-1=2×-1=-.故选C. 6.D　[解析] 由cos 2θ-sin 2θ=cos2θ,得-2sin θcos θ=sin2θ,因为θ为钝角,所以sin θ>0, 所以-2cos θ=sin θ,则tan θ=-2,则tan 2θ==,tan 3θ==-.故选D. 7.D　[解析] ∵α∈,∴∈,∴+=+ =+=--=-2sin.故选D. 8.A　[解析] 由正弦定理得=,化简可得sin B-sin A=cos Asin B-sin Acos B=sin(B-A),由和差化积公式和二倍角公式可得2cossin=2sincos,整理得sin=0,易知cos-cos≠0,所以sin=0,所以A=B,即△ABC一定为等腰三角形.故选A. 9.CD　[解析] =====, 因为cos 2α=-,所以sin 2α=±.当sin 2α=-时,==-;当sin 2α=时,==-2.故选CD. 10.-　[解析] 由题意得5sin θ=4,即sin θ=,所以cos 2θ=1-2sin2θ=1-2×=-. 11.　[解析] 由sin α=cos=cos α+sin α,得tan α=,所以tan 2α===. 12.　[解析] 设该三角形的顶角为A,底角为B,C,则sin B=sin C=,cos A=cos(π-2B)=-cos 2B=-(1-2sin2B)=-=. 13.解:(1)由cos α=-以及α∈可得sin α==, 故sin 2α=2sin αcos α=2××=-. (2)cos 2α=2cos2α-1=,则cos=cos 2αcos+sin 2αsin=×+×=. 14.解:(1)因为tan α==,所以sin α=cos α. 因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=, 所以cos 2α=2cos2α-1=-. (2)因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π). 因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,所以t ... ...