第六章 习题课　空间中的垂直关系 （含解析）高中数学北师大版（2019）必修 第二册

习题课　空间中的垂直关系 1.D　[解析] 设平面α外两点为A,B,作直线AB,若AB⊥α,则经过AB的任意一个平面都与平面α垂直,此时过平面α外两点A,B且垂直于平面α的平面有无数个;若AB与α不垂直,记A,B在平面α内的投影分别为C,D,作直线CD,则直线AB与直线CD相交(但不垂直)或平行,则过AB与CD的平面有且只有一个,因为AC⊥平面α,AC 平面ABDC,所以平面ABDC⊥平面α,此时过平面α外两点A,B且垂直于平面α的平面有1个.故选D. 2.B　[解析] 如图①②,当l∥m时,α与β可能相交,也可能平行,故A为假命题;当α∥β时,设过l且与β相交的平面为γ,则γ与β的交线平行于l,由直线与平面平行的判定定理可知,必有l∥β,故B为真命题;如图③,当l与β不垂直时,存在l,m使l⊥m,故C为假命题;如图④,当l与m不平行时,存在α,β使α⊥β,故D为假命题.故选B. 3.D　[解析] 根据题意,l 是平面α与β的交线,则根据二面角的定义可知,若AO⊥l,BO⊥l,且AO α,BO β,则∠AOB为二面角的平面角,故选D. 4.C　[解析] 连接DE,AC,A1D,由BC∥AD可得∠EAD即为异面直线AE与BC的夹角.因为A1A⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以A1A⊥AC,又E为A1C的中点,所以AE=A1C=×=2.同理可得A1D⊥DC,DE=A1C=2,则AE2+DE2=AD2,所以 ∠EAD=,所以异面直线AE与BC夹角的余弦值为cos=.故选C. 5.A　[解析] 如图所示,过点P作PO⊥平面ABC,垂足为O,连接OA,OB,OC,则OA=,OB=,OC=,因为PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心.故选A. 6.B　[解析] 对于①,由题易知AD1∥BC1,又AD1 平面ACD1,BC1 平面ACD1,所以BC1∥平面ACD1,则点P到平面ACD1的距离即为直线BC1到平面ACD1的距离h,为定值,则直线AP与平面ACD1的夹角的正弦值为,当点P在线段BC1上运动时,线段AP的长会变化,则直线AP与平面ACD1的夹角的大小会变化,故①错误;对于②,如图,设AD1∩A1D=M,因为AB⊥平面AA1D1D,A1D 平面AA1D1D,所以AB⊥A1D,又AD1⊥A1D,AB∩AD1=A,AB,AD1 平面ABC1D1,所以A1D⊥平面ABC1D1,又AP 平面ABC1D1,所以A1D⊥AP,所以当点P在线段BC1上运动时,直线AP与直线A1D的夹角的大小始终不变,故②正确;对于③,连接BD,DC1,因为几何体ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AA1⊥平面ABCD,又BD 平面ABCD,所以AA1⊥BD,又AC⊥BD,且AA1∩AC=A,AA1,AC 平面A1AC,所以BD⊥平面A1AC,又A1C 平面A1AC,所以BD⊥A1C,同理得DC1⊥A1C,又DC1∩BD=D,DC1,BD 平面BDC1,所以A1C⊥平面BDC1,又DP 平面BDC1,所以A1C⊥DP,故③正确.故选B. 7.BCD　[解析] 对于A,B,依题意,SC⊥AC,BC⊥AC,BC∩SC=C,BC,SC 平面SBC,则AC⊥平面SBC,又SB 平面SBC,于是SB⊥AC,由∠SBA=90°,得SB⊥AB,又AB∩AC=A,AB,AC 平面ABC,所以SB⊥平面ABC,又BC 平面ABC,所以SB⊥BC,因为∠CBA=45°,SB∩AB=B,SB,AB 平面SBA,所以BC不垂直于平面SBA,又SB∩SA=S,SA 平面SBA,所以SA与BC不垂直,所以异面直线SA与BC的夹角不可能为90°,故A错误,B正确;对于C,由AC⊥平面SBC,AC 平面SAC,得平面SBC⊥平面SAC,故C正确;对于D,取AB的中点D,连接CD,如图,由AC=BC,得CD⊥AB,由SB⊥平面ABC,SB 平面SAB,得平面SAB⊥平面ABC,又平面SAB∩平面ABC=AB,CD 平面ABC,所以CD⊥平面SAB,又∠ACB=90°,所以CD=,所以点C到平面SAB的距离是,故D正确.故选BCD. 8.BCD　[解析] 对于A选项,因为AB∥E1D1,E1D1∩E1C1=E1,所以AB与E1C1异面,故A错误;对于B选项,取O,O1分别为AD,A1D1的中点,连接OO1,如图,在正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,OO1⊥平面ABCDEF,因为CE 平面ABCDEF,所以OO1⊥CE,因为底面ABCDEF是正六边形,所以AD⊥CE,又AD∩OO1=O,AD 平面ADD1A1,OO1 平面ADD1A1,所以EC⊥平面ADD1A1,故B正确;对于C选项,设AD与EC交于点M,连接D1M,因为AB=4,A1B1=3,所以AD=8,A1D1=6,又DM=2,所以AM=6, 即A1D1=AM,又A1D1∥AM,所以四边形AMD1A1是平行四边形,所以AA1∥D1M,又D1M 平面CED1,AA ... ...