第2课时 直线与平面平行的判定 【课前预习】 知识点 平面外一条直线 l∥α 诊断分析 1.(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)只有当这条直线在这个平面外时,这条直线才与这个平面平行. (2)过直线外一点可作唯一的一条直线与已知直线平行,而经过所作直线的平面有无数个,根据直线与平面平行的判定定理知,这些平面(除经过已知直线与所作直线的平面)都与已知直线平行. (3)如图,l∥α,l∥β,α∩β=m,过直线l作平面γ与平面α交于直线a,作平面δ交平面β于直线b,a,b与l不重合,因为l∥α,l∥β,所以l∥a,l∥b,所以a∥b,因为a β,b β,所以a∥β ,又a α,α∩β=m,所以a∥m,所以l∥m.因此命题正确. 2.解:平行. 3.解:平行或在此平面内. 【课中探究】 探究点一 例1 D [解析] 对于A,直线l上有无数个点不在平面α内,不能说明直线与平面无公共点,故A不正确;对于B,缺少直线l在平面α外这一条件,故B不正确;对于C,直线l也可能在平面α内,故C不正确;对于D,由直线与平面平行的定义,可知D正确.故选D. 变式 A [解析] 因为b∥α,所以b α且存在c α使得b∥c.若a∥b,则a∥c,又a α且c α,所以a∥α,充分性成立.若a∥α,则a,b可能相交,可能平行,也可能异面,所以必要性不成立.故选A. 探究点二 例2 证明:方法一:如图所示,连接AC,BD,交于点O,连接OM, 则OM∥D1D且OM=D1D. 又AF=A1A,AA1∥DD1且AA1=DD1,∴OM∥AF且OM=AF,∴四边形MOAF是平行四边形,∴MF∥OA.∵OA 平面ABCD,MF 平面ABCD,∴MF∥平面ABCD. 方法二:如图所示,连接D1F并延长,交DA的延长线于点E,连接BE, 在△D1DE中,∵AF∥DD1且AF=DD1,∴F是D1E的中点, ∴FM是△BED1的中位线,∴FM∥BE, ∵BE 平面ABCD,MF 平面ABCD, ∴MF∥平面ABCD. 变式 证明:取PA的中点N,连接EN,DN,因为E是PB的中点,所以EN∥AB,EN=AB. 因为四边形ABCD为正方形,F是CD的中点,所以DF∥AB,DF=AB,所以EN∥DF,EN=DF, 所以四边形ENDF为平行四边形,所以EF∥DN. 因为EF 平面PAD,DN 平面PAD, 所以EF∥平面PAD. 探究点三 例3 证明:(1)连接AC,交BD于点O,连接OG. 因为四边形ABCD为平行四边形,所以O为AC的中点, 又G为FC的中点,所以AF∥OG.因为OG 平面BGD,AF 平面BGD,所以AF∥平面BGD. (2)因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD. 因为CD 平面DCFE,AB 平面DCFE, 所以AB∥平面DCFE.因为AB 平面ABFE,平面DCFE∩平面ABFE=EF,所以AB∥EF. 变式 证明:在题图①中,连接DE,因为BC⊥CD,CE=,CD=1,所以DE=2,则sin∠CDE=,又∠CDE∈,所以∠CDE=.因为DE=2,AE=AD=2,所以∠DEA=,故CD∥AE. 在题图②中,因为CD∥AE,AE 平面ABE,CD 平面ABE,所以CD∥平面ABE,因为CD 平面BCD,平面BCD∩平面ABE=l,所以CD∥l.第2课时 直线与平面平行的判定 1.D [解析] 当直线l α时也可以满足条件,但l不平行于α,故A错误;直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况,故B错误;选项C中缺少a α这一条件,故不能得到a∥α,故C错误;易知D正确.故选D. 2.C [解析] 取AD的中点H,连接EH,则EH∥AB,因为EH与平面α相交,所以AB与平面α相交.由题意知直线AC,DB,DC均与平面α相交.在△BCD中,由已知得EF∥BC,因为EF α,BC α,所以BC∥α.同理AD∥α.故选C. 3.D [解析] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,不妨设平面ABCD为平面α,直线A1B1为直线a,点E,F分别为棱AA1,DD1的中点,连接EF,显然a∥平面α.当直线b为直线AD时,直线a,b是异面直线,此时b 平面α.易知EF∥AD,因为AD 平面α,EF 平面α,所以EF∥平面α,当直线b为直线EF时,直线a,b是异面直线,此时b∥平面α.当直线b为直线CC1时,直线a,b是异面直线,此时b与平面α相交.所以直线b与平面α可能平行,可能相交,也可能b在平面α内.故选D. 4.A [解析] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥BB1且AA1=BB1,∵E,F分别为AA1,BB1的中点,∴AE∥BF且AE=BF,∴ ... ...
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