第六章 5.1 第2课时 直线与平面垂直的判定（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）必修 第二册

第2课时　直线与平面垂直的判定 【课前预习】 知识点 两条相交直线　a∩b 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　[解析] (1)它们可以有公共点,也可以没有公共点. (2)在线面垂直的判定定理中,要求平面内的两条直线必须相交. (3)因为三角形的任意两条边都相交,所以根据直线与平面垂直的判定定理知,此直线与该三角形所在的平面垂直. (4)直线l与平面α内的无数条直线垂直,当这无数条直线为一组平行直线时,不能推出l⊥α. (5)若一条直线与一个平面内的所有直线都垂直,则必存在两条相交直线与这条直线垂直,则这条直线与这个平面垂直,正确. 2.解:当一条直线垂直于平行四边形的两条邻边时,此直线与该平行四边形所在的平面垂直;当一条直线垂直于平行四边形的两条对边时,因为这两条对边平行,所以此直线与该平行四边形所在的平面不一定垂直. 【课中探究】 探究点一 例1　证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,因为BC 平面ABC,所以BB1⊥BC. 因为AB⊥BC,AB 平面A1ABB1,BB1 平面A1ABB1,BB1∩AB=B,所以BC⊥平面A1ABB1. 又D,E分别是A1B和A1C的中点, 所以DE∥BC,所以DE⊥平面A1ABB1. 变式　证明:由题意知,AA1⊥平面ABC,又AC 平面ABC,所以AA1⊥AC. 因为∠BAC=90°,所以AC⊥AB,又AB∩AA1=A,AB 平面A1ABB1,AA1 平面A1ABB1,所以AC⊥平面A1ABB1,又A1D 平面A1ABB1,所以AC⊥A1D. 因为D为棱BB1的中点,AA1=2a,AB=a,且四边形A1ABB1为矩形,所以在△A1DA中,A1D=a,AD=a,则A1D2+AD2=A1A2, 所以∠A1DA=90°,即A1D⊥AD. 又AC∩AD=A,AC 平面ADC,AD 平面ADC, 故A1D⊥平面ADC. 拓展　证明:∵BA=BC,且M是棱AC的中点,∴BM⊥AC. ∵CF⊥平面ABC,BM 平面ABC,∴CF⊥BM. 又CF∩AC=C,CF 平面ACFD,AC 平面ACFD,∴BM⊥平面ACFD.∵DC 平面ACFD,∴CD⊥BM①. ∵CF⊥平面ABC,AC 平面ABC,∴AC⊥CF,又DF∥AC,∴∠CFD=∠MCP=, 又=,∴△CFD∽△MCP,则∠PMC=∠DCF. ∵∠ACD+∠FCD=,∴∠PMC+∠ACD=,∴CD⊥PM②.∵BM∩PM=M,BM 平面PBM,PM 平面PBM,∴由①②知CD⊥平面PBM. 探究点二 例2　证明:因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC. 因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC, AD 平面ABC,所以AD⊥BB1. 又BC∩BB1=B,所以AD⊥平面BB1C1C. 由点E在棱BB1上运动,得C1E 平面BB1C1C, 所以AD⊥C1E. 变式　证明:如图所示,过点A作b'∥b,则a,b'可确定一个平面,记该平面为γ. ∵AB是异面直线a,b的公垂线, ∴AB⊥a,AB⊥b,∴AB⊥b'. 又a∩b'=A,∴AB⊥γ. ∵a⊥α,b⊥β,l α,l β,∴l⊥a,l⊥b,∴l⊥b', 又a∩b'=A,∴l⊥γ,∴AB∥l.第2课时　直线与平面垂直的判定 1.B　[解析] 若m⊥l,因为l α,α∥β,所以m β或m∥β或m与β相交,充分性不成立;若m⊥β,因为α∥β,所以m⊥α,又l α,所以m⊥l,必要性成立.所以“m⊥l”是“m⊥β”的必要不充分条件.故选B. 2.D　[解析] ∵PO⊥平面ABC,AC 平面ABC,∴PO⊥AC.又AC⊥BO,且BO∩PO=O,BO 平面PBD,PO 平面PBD,∴AC⊥平面PBD,∴直线PB,PD,PO,BD均与AC垂直,故选D. 3.D　[解析] 在平面DD1C1C,平面A1DB,平面A1B1C1D1中不能找到两条相交直线与AD1垂直,故A,B,C不满足题意;在平面A1DB1中,AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,∴AD1⊥平面A1DB1,故D满足题意.故选D. 4.D　[解析] 若m⊥n,m∥α,α∥β,则n∥β或n与β相交或n β,故①错误;若m⊥n,m⊥α,α∥β,则n∥β或n β,故②错误;若m⊥α,α∥β,则m⊥β,又n∥β,则m⊥n,故③正确;若m⊥α,α∥β,则m⊥β,又m∥n,则n⊥β,故④正确.故选D. 5.B　[解析] 连接AE,因为AB=AD,E为CD的中点,所以==,所以△ABD∽△DAE,所以∠DAE=∠ABD,所以∠EAB+∠ABD=90°,即AE⊥BD.因为A1A⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以A1A⊥BD.又A1A 平面A1AE,AE 平面A1AE,A1A∩AE=A,所以BD⊥平面A1AE.因为A1E 平面A1AE,所以A1E⊥DB.故选B. 6.D　[解析 ... ...