第二章 单元素养测评卷（含解析）高中数学北师大版（2019）选择性必修 第一册

单元素养测评卷(二) 1.C　[解析] 因为点(1,4)在抛物线y=ax2上,所以4=a×12,则a=4,所以抛物线的标准方程是x2=y,则抛物线的焦点坐标为.故选C. 2.D　[解析] 因为双曲线-y2=1(a>0)的实轴长为4,即2a=4,所以a=2,所以双曲线的方程为-y2=1,其渐近线方程为y=±x,故选D. 3.B　[解析] 易知直线过定点M(1,0),由+<1得点M在椭圆内,所以直线与椭圆相交.故选B. 4.A　[解析] 由椭圆+=1得其半焦距为=2,依题意得,a2+b2=(2)2=8.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,于是-=tan 120°,即b=a.由可得所以双曲线C的方程为-=1.故选A. 5.A　[解析] 由椭圆的方程+=1可得a=3,b=2,所以c===.设|PF1|=r,则|PF2|=2a-r=6-r,由点P在第一象限可得r>6-r,即r>3.因为PF1⊥PF2,所以r2+(6-r)2=(2c)2=20,整理可得r2-6r+8=0,解得r=4或r=2(舍),即|PF1|=4,|PF2|=2,所以在Rt△PF1F2中,tan∠PF1F2===.故选A. 6.D　[解析] 因为点P在椭圆+=1(a>b>0)上,所以|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,所以|PF1|=a,|PF2|=a.因为|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c,当且仅当点P在椭圆的右顶点时取等号,即a-a≤2c,所以离心率e=≥,即≤e<1,所以该椭圆的离心率的取值范围是.故选D. 7.D　[解析] 圆C:x2+y2-4x=0的标准方程为(x-2)2+y2=4,则圆心C的坐标为(2,0),半径为2.设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,则根据题意得r=|x|≠0,且|MC|=r+2,即=|x|+2.当x>0时,得(x-2)2+y2=(x+2)2,即y2=8x;当x<0时,得(x-2)2+y2=(-x+2)2,即y=0.所以所求圆心的轨迹方程为y2=8x(x>0)和y=0(x<0).故选D. 8.A　[解析] 由y2=8x知,抛物线的焦点为F(2,0),方程x2+y2-4x+3=0可化为(x-2)2+y2=1,表示以(2,0)为圆心,1为半径的圆,由ax-y-a-1=0,得y=a(x-1)-1,所以直线恒过定点P(1,-1).如图,过点M作ME垂直于抛物线的准线x=-2,垂足为E,过点P作PQ垂直于抛物线的准线,垂足为Q,线段PQ交抛物线于点M',连接PE,MF,则|MP|+|MN|≥|MP|+|MF|-1=|MP|+|ME|-1≥|PE|-1≥|PQ|-1=3-1=2,所以当M为过P且垂直于准线的直线与抛物线的交点(即M位于点M'处),N为线段MF与圆的交点时,|MP|+|MN|取得最小值2,故选A. 9.BCD　[解析] 若方程+=1表示椭圆,则∴14,故B正确;若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则∴14,故D正确.故选BCD. 10.BCD　[解析] 由题意知,抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线l:y=-1,因为P为抛物线x2=4y上的一个动点,所以由抛物线的定义可知,点P到焦点F(0,1)的距离等于点P到准线l:y=-1的距离,故A错误,B正确;点P到直线y=-x-2的距离d1===,当m=-2时,d1取得最小值,故C正确;设点A(1,5)到准线l:y=-1的距离为d2,点P到准线l:y=-1的距离为d3,则+=|PF|+|PA|=d3+|PA|≥d2=5+1=6,当且仅当m=1,n=时取等号,故D正确.故选BCD. 11.ACD　[解析] 对于A,由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=4,∴△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=8,故A正确;对于B,假设椭圆C上存在点P(m,n),使得·=0,则+n2=1(-2≤m≤2,-1≤n≤1),∵F1(-,0),F2(,0),∴=(--m,-n),=(-m,-n),由·=(--m)·(-m)+n2=0,得n2=3-m2=1-,解得m=±∈[-2,2],假设成立,∴椭圆C上存在点P,使得·=0,故B错误;对于C,直线2mx-2y-2m+1=0,即直线2m(x-1)-2y+1=0恒过定点,且+=<1,故该定点在椭圆的内部,过该定点的直线和椭圆一定有交点,故C正确;对于D,设P1(x1,y1),则点P1到圆x2+y2=1的圆心的距离为|P1O|===,∵-1≤y1≤1,∴|P1O|max=2,∴|P1Q|max=|P1O|max+1=3,故D正确.故选ACD. 12.　　[解析] 由题意知F1(-2,0),F2(2,0),设点P的坐标为(x,y),则线段PF1的中点的坐标为,因为线段PF1的中点在y轴上,所以=0,即x=2,所以PF2⊥x轴,即∠PF2F1=.|PF2|==,|PF1|=2a-|PF2|=6-=,所以|PF1|-|PF2|=. 13.9　[解析] 由 ... ...