第2课时 直线方程的两点式 【课前预习】 知识点一 = 诊断分析 (1)× (2)√ 知识点二 +=1 诊断分析 (1)× (2)√ 【课中探究】 例1 解:(1)BC边所在直线过两点B(5,-4),C(0,-2),由直线方程的两点式,得其方程为=,即y=-x-2,故BC边所在直线的方程为y=-x-2. (2)设BC边的中点为M(a,b),则a==,b==-3,所以M.又BC边上的中线所在直线过点A(-3,2),所以由两点式得其方程为=,即y=-x-,所以BC边上的中线所在直线的方程为y=-x-. 变式 C [解析] 因为直线l经过(-2,-2),(2,4)两点,所以直线l的方程为=,即=.因为点(1348,m)在直线l上,所以=,解得m=2023,故选C. 例2 解:①当直线经过原点时,斜率k==,所以直线方程为y=x,即4x-3y=0. ②当直线不经过原点且在两坐标轴上的截距相等时,设直线方程为+=1,将(3,4)代入方程,得+=1,解得a=7,所以直线方程为+=1,即x+y-7=0. ③当直线不经过原点且在两坐标轴上的截距互为相反数时,设直线方程为+=1,将(3,4)代入方程,得+=1,解得b=-1,所以直线方程为+=1,即x-y+1=0.综上所述,直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0或x-y+1=0. 变式 (1)y=x或+=1 (2)BD [解析] (1)若过点P(3,1)的直线l在坐标轴上的截距均为0,显然满足题意,则直线l的方程为y=x.若直线l在坐标轴上的截距均不为0,则设满足题意的直线l的方程为+=1,将P(3,1)的坐标代入,得a=2,即l的方程为+=1.故直线l的方程为y=x或+=1. (2)依题意,a≠0,则直线方程ax+y+3-a=0中,令y=0,得x=,令x=0,得y=a-3,所以直线在x轴和y轴上的截距分别为和a-3,因此=a-3,解得a=1或a=3.故选BD. 例3 (1)C [解析] 由题图知点A(60,6),B(80,10),所以由直线方程的两点式,得直线AB的方程是=,即y=x-6.依题意,令y=0,得x=30,即旅客最多可免费携带行李的重量为30 kg.故选C. (2)解:设直线l的方程为+=1(a>0,b>0), 由题意可得解得 所以直线l的方程为+2y=1,即x+4y-2=0. 变式 y=-2x+5 [解析] 利用反射定理可得入射光线所在直线经过点P(2,1),Q'(4,-3),所以所求直线的方程为=,即y=-2x+5.第2课时 直线方程的两点式 1.B [解析] 由截距式可得,所求直线方程为+=1.故选B. 2.A [解析] 易知m≠0,直线方程-=1可化为+=1,依题意有12+=10,∴m=2.故选A. 3.A [解析] 由直线l经过点A(-6,4),斜率为,可得直线l的方程为y-4=(x+6),即4x-3y+36=0,令y=0,可得x=-9,即直线l在x轴上的截距为-9.故选A. 4.A [解析] 因为直线经过点A(-3,2),B(4,4),所以由直线方程的两点式可得直线方程为=.故选A. 5.B [解析] 设直线l:+=1(a>0,b>0),因为直线l过点A(2,3),所以+=1,即2b+3a=ab,所以2b+3a=ab≥2,得ab≥24,当且仅当2b=3a,即a=4,b=6时等号成立,则直线l与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积S=ab≥12.故选B. 6.D [解析] m(x+1)+n(y+2)=0可化为mx+ny+m+2n=0①,要使l与两坐标轴能围成三角形,则mn≠0且m+2n≠0.在方程①中,令x=0,得y=-;令y=0,得x=-.依题意得×=×=×=×=6,所以++4=12或++4=-12,所以+=8或+=-16.设t=(t≠0且t≠-2),则t+=8或t+=-16,即t2-8t+4=0或t2+16t+4=0,解得t=或t=,即t=4±2或t=-8±2,即=4±2或=-8±2,所以这样的直线有4条.故选D. 7.ABC [解析] 对于A,B,如果直线垂直于x轴,那么直线的斜率不存在,直线的方程不可以写成点斜式和斜截式,故A,B正确;对于C,由x1≠x2且y1≠y2可知,两点式可表示不垂直于x轴和y轴的任何直线,故C正确;对于D,当直线与坐标轴平行时直线的方程也不能写成截距式,故D错误.故选ABC. 8.ACD [解析] 若直线l过原点,则l在两坐标轴上的截距均为0,满足题意,此时直线l的斜率k=-,直线方程为y=-x,即3x+4y=0;若直线l不过原点,则当l在两坐标轴上的截距相等时,设直线方程为+=1,则+=1,解得a=1,此时直线方程为x+y-1=0;当l在两坐标轴上的截距互为相反数时,设直线方程为-=1,则+=1,解得b=7,此时直线方程为x-y-7=0.综上,直线l的方程为3x ... ...
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