2.3 直线与圆的位置关系 【课前预习】 知识点 2 1 0 dr Δ>0 Δ=0 诊断分析 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 【课中探究】 例1 解:方法一:将直线l的方程与圆C的方程联立,消去y整理得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,Δ=4m(3m+4).当Δ>0,即m>0或m<-时,直线l与圆C相交,即直线l与圆C有两个公共点;当Δ=0,即m=0或m=-时,直线l与圆C相切,即直线l与圆C只有一个公共点;当Δ<0,即-0或m<-时,直线l与圆C相交,即直线l与圆C有两个公共点;当d=2,即m=0或m=-时,直线l与圆C相切,即直线l与圆C只有一个公共点;当d>2,即-r,所以直线l与圆C相离,故B正确;对于C,因为点A在圆C外,所以a2+b2>r2,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d3==2,可知圆O与直线AB无公共点.因此如果轮船沿直线返航,它无触礁危险. 例2 (1)B (2)C [解析] (1)圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5,圆心为C(1,2),又点P在圆上,kCP=,所以切线斜率为-2,所以切线方程为y-3=-2(x-3),化简得2x+y-9=0,故选B. (2)点P在圆外,因此过点P的圆的切线有两条,排除A,B.①当切线的斜率不存在时,切线方程为x=2,满足题意.②当切线的斜率存在时,设切线方程为y-3=k(x-2),由(0,0)到切线的距离d==2得k=,此时切线方程为y-3=(x-2),即5x-12y+26=0.故选C. 变式 C [解析] 作出圆O与直线l,如图所示,连接PO,AO,则|PA|2=|PO|2-r2,易知当|PO|取得最小值时,|PA|取得最小值,因为|PO|min==2,所以|PA|的最小值为=.故选C. 例3 解:联立直线l与圆C的方程,得解得或所以直线l与圆C的两个交点为A(1,3),B(2,0),故直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长|AB|==. 变式 (1)B [解析] 方程x2+y2+2x-2y-7=0可化为(x+1)2+(y-1)2=9,则圆C的圆心为(-1,1),半径为3,因为|AB|=6,所以直线l经过该圆的圆心,即-a-b+4=0,所以a+b=4.又直线l经过第一、二、三象限,所以即a>0,b>0,则ab≤=4,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以ab的最大值是4.故选B. (2)解:将圆的方程化成标准方程得(x+1)2+(y-2)2=25,由圆的性质可得,圆心(-1,2)到直线l的距离d==3. ①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-4,满足题意; ②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0,由点到直线的距离公式,得3=,解得k=-,所以直线l的方程为5x+12y+20=0.综上所述,直线l的方程为x+4=0或5x+12y+20=0. 拓展 D [解析] 直线l的方程可化为(2x+y-9)m+(x+y-7)=0,由解得所以直线l过定点A(2,5).圆C的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=16,则圆C的的圆心坐标为(3,2),半径r=4,连接AC,显然|AC|=<4=r,即点A(2,5)在圆C内.直线AC的斜率为=-3,当l⊥AC时,直线l被圆C截得的弦长最短,此时直线l的斜率为,故所求直线方程为y-5=(x-2),即x-3y+13=0.故选D.2.3 直线与圆的位置关系 1.D [解析] 由题可知,圆心(-1,2)到直线x+y=0的距离d==,所以弦长l=2=.故选D. 2.A [解析] 圆C:x2+(y-1)2=5的圆心为C(0,1), ... ...
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