2024-2025学年内蒙古呼伦贝尔市扎兰屯一中高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为( ) A. B. C. D. 3.已知数列满足，则( ) A. B. C. D. 4.已知空间四边形，，分别是，的中点，且，，，用，，表示向量为( ) A. B. C. D. 5.若直线：和圆：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为( ) A. 个 B. 至多有一个 C. 个 D. 个 6.圆与圆的公共弦长为( ) A. B. C. D. 7.已知函数的定义域是，其导函数满足，且有，，则( ) A. B. C. D. 8.已知，分别是双曲线的左、右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设在处可导，下列式子中与相等的是( ) A. B. C. D. 10.已知圆：直线：，，则( ) A. 直线恒过定点 B. 存在实数，使得直线与圆没有公共点 C. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于 D. 圆与圆只有一条公切线 11.如图，在棱长为的正方体中，点在线段包括端点上运动，则下列结论正确的是( ) A. 异面直线与所成角的取值范围是 B. 平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 当为的中点时，到的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，，则最小值为_____． 13.已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则的值为_____． 14.已知数列满足，设，为数列的前项和若对任意恒成立，则实数的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数． 求导函数； 若曲线在点处的切线方程为，求，的值． 16.本小题分 已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差为，记点的轨迹为曲线． 求曲线的方程； 将曲线向上平移个单位得到曲线，已知直线：与曲线有两个不同的交点，，求． 17.本小题分 如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，，，分别为，的中点． 求证：平面； 求点到平面的距离． 18.本小题分 已知数列的各项均为正数，其前项和，． 求数列的通项公式； 设，若称使数列的前项和为整数的正整数为“优化数”，试求区间内所有“优化数”的和． 19.本小题分 定义：若椭圆上的两个点，满足，则称，为该椭圆的一个“共轭点对”，即点关于的一个共轭点为，已知椭圆的离心率为，且椭圆过点． 求椭圆的方程； 求点关于的所有共轭点的坐标； 设点，在上，且，求点关于的所有共轭点和点，所围成封闭图形面积的最大值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：由， 得 ； 切点既在曲线上，又在切线上， 将代入切线方程，得， 将代入曲线方程，得，则， 将代入导函数， 可得，即． ，． 16. 17.证明：连接， 在中，因为，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； 解：在直三棱柱中，， 则，，两两垂直， 如图，以为坐标原点，，，为，，轴正方向， 建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ，． 设平面的法向量为， 则有，即 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设点到平面的距离，又， 则， 所以点到平面的距离为． 18.解：由知， 当时，，，即， 因为数列的各项均为正数，所以； 当时，， 整理得， 因为，所以有， 所以数列是首项，公差的等差数列， 数列的通项公式为． 由知，， 数列的前项和为 ， 令，则有，， 由，知，，故且， 所以区间内所有“优化数”的和为 ． 19. 第1页，共1页 ... ...
