§3 离散型随机变量的均值与方差 3.1 离散型随机变量的均值 【课前预习】 知识点一 1.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 2.(2)aEX+b 诊断分析 (1)× (2)√ (3)× 知识点二 p 【课中探究】 例1 解:依题意得X的所有可能取值为0,1,2,3,4. 当X=0时,取到2个黑球,则P(X=0)==;当X=1时,取到1个黑球1个白球,则P(X=1)==;当X=2时,取到2个白球或1个红球1个黑球,则P(X=2)=+=;当X=3 时,取到1个白球1个红球,则P(X=3)==;当X=4时,取到2个红球,则P(X=4)==.∴X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 故EX=0×+1×+2×+3×+4×=. 变式 B [解析] 由题意可知,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,因此EX=0×+1×+2×=.故选B. 例2 -2 [解析] 由题意可得+a+=1,解得a=. 方法一:EX=-2×-1×+1×=-,故E(2X-1)=2EX-1=2×-1=-2. 方法二:设Y=2X-1,则Y=2X-1的分布列为 Y -5 -3 1 P 故E(2X-1)=EY=-5×+(-3)×+1×=-2. 变式 C [解析] 因为P(X=0)=0.2,P(X=1)=0.6,P(X=2)=0.2,所以EX=0×0.2+1×0.6+2×0.2=1,所以E(2X-3)=2EX-3=2×1-3=-1.故选C. 例3 解:(1)设Ai(i=1,2)表示“第i次抽到的是优等品”,因为是不放回抽样,所以P()=P(|A1)P(A1)+P(|)P()=×+×=. (2)设X表示已销售的3件产品中不合格产品的件数,由题意知,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==. 设方案一产生的总费用为Y1,则Y1= 所以Y1的分布列为 Y1 0 280 480 P 所以EY1=0×+280×+480×=≈162.7(元). 设方案二损失的成本为Y2, 则Y2=300X,易知EX=0×+1×+2×=, 所以EY2=300×=180(元). 由于EY2>EY1,故应该将不合格产品返厂再加工, 因此应该选择方案一. 变式 投资房地产 [解析] 设购买股票的盈利为X万元,投资房地产的盈利为Y万元,则购买股票的盈利的均值EX=10×0.3+3×0.5+(-5)×0.2=3+1.5-1=3.5,投资房地产的盈利的均值EY=8×0.3+4×0.5+(-4)×0.2=2.4+2-0.8=3.6.因为EY>EX,所以应选择投资房地产.§3 离散型随机变量的均值与方差 3.1 离散型随机变量的均值 1.A [解析] 因为P(X=1)=,P(X=-1)=,所以由均值的定义得EX=1×+(-1)×=0.故选A. 2.A [解析] 依题意得EX=1×0.6+2×0.3+3×0.1=1.5.故选A. 3.C [解析] 由++m+=1,得m=,则EX=0×+1×+2×+3×=1.故选C. 4.B [解析] 根据分布列的性质可得++a=1,解得a=,所以EX=-1×+0×+1×=-.又Y=2X+1,所以EY=2EX+1=2×+1=.故选B. 5.C [解析] 设该学生回答1道选择题的得分为X,则EX=5×+(-2)×=,所以该学生回答40道选择题的得分的均值为40EX=40×=172,即该学生在本次竞赛中得分的均值为172.故选C. 6.B [解析] 设该公司在这两个项目的招标中获利为X万元,则随机变量X的可能取值为40,18,-4,P(X=40)=0.6×0.4=0.24,P(X=18)=0.62+0.42=0.52,P(X=-4)=0.4×0.6=0.24,可得EX=40×0.24+18×0.52-4×0.24=18,所以该公司在这两个项目的招标中获利的均值为18万元.故选B. 7.BC [解析] 由题意得0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4,则EX=4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=7.5,解得a=7,故选BC. 8.BD [解析] 当p=时,P(X=2)=,P(X=1)=1-=>,A错误;因为
