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课件网) 4.2 对数 4.2.2 对数的运算性质 第2课时 换底公式与对数的应用 探究点一 利用换底公式化简求值 探究点二 有附加条件的求值、证明问题 探究点三 对数的实际应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能够根据对数的定义,推导出换底公式. 2.会利用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 知识点 对数换底公式 1.对数的换底公式：,其中,,, , . 2.对数换底公式的重要推论: （1） ; （2） ; （3） . 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）由换底公式可得 .( ) × [解析] 对数式的底数必须是大于0且不等于1的数，所以（1）错误. （2）若,则 .( ) √ [解析] . 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）若,,则 .( ) √ [解析] . （4） .( ) × [解析] . 探究点一 利用换底公式化简求值 例1（1）化简下列各式： ① ___； 8 [解析] 原式 . ② ___； 5 [解析] 方法一：原式 . 方法二：原式 . 例1（1）化简下列各式： ③ __. [解析] 原式 . （2）若,且,则实数 的值为____. 18 [解析] 由题意得,且 ,所以 ,则 . 变式（1）［2025·湖南长沙明德中学期中］设， ， 则 ( ) A. B. C. D. [解析] 则 . 故选D. √ （2）计算下列各式的值： ① ； 解： . ② . 解： . ［素养小结］ 在解题方向尚不明确的情况下，一般先统一将对数换成常用对数 （当然也可以换成自然对数或其他有助于解题的正数为底的对数）， 然后再化简计算. 拓展 计算： . 解：原式 . 探究点二 有附加条件的求值、证明问题 例2（1）［2025·江苏高邮高一期中］已知， ，则 ____（用， 表示）. [解析] 由可得 ，所以 . （2）［2025·江苏徐州高一期中］若，则 的值为 ___. 2 [解析] 由，可得, ， 所以, ， 所以 . （3）已知,，求证: . 证明：方法一：， ， . 方法二：， ， . 方法三：,，， ， . 变式（1）［2025·上海复旦附中高一期中］设，是关于 的方程的两个实数根，求 的值； 解：因为，是关于的方程 的两个实数根， 所以 由得，则 ； 由得 . 所以，约分得 ，则 . （2）已知，且,，若 ， ，求 的值. 解：由，得， 由 ，得，则 . 所以，即 ， 故 . ［素养小结］ 解决含有附加条件的代数式求值问题，需要把已知条件和所求式进行 化简转化，原则上化为同底的对数，以便利用对数的运算性质求解. 拓展 已知，，，且 ,证明： . 证明：，，， ， ，， ， . 探究点三 对数的实际应用 例3（1）幸福感指数是生活质量的一个评价指标，其中， 分别表示物质生活指标与精神生活指标.幸福感指数 越大，生活质 量越高.如果某人近年的物质生活指标 没有变化，精神生活指标由 变为 ，幸福感指数由3提高到5，则( ) 附：若其中且，， ，则 A. B. C. D. [解析] 依题意可得，即 ， 所以 .故选C. √ （2）已知国内某人工智能机器人制造厂在2024年机器人产量为300 万台，根据市场调研和发展前景得知，各行各业对人工智能机器人 的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产 量都比上一年提高 ，那么该工厂大约到哪一年人工智能机器人 的产量才能达到900万台本题参考数据：， ( ) A.2029年 B.2030年 C.2031年 D.2032年 √ [解析] 设该工厂经过 年，人工智能机器人的产量才能达到900万台. 由题意可得，所以 ，所以 ，则大约经过 6年，人工智能机器人的产量才能达到900万辆，即大约到2030年， 人工智能机器人的产量才能达到900万辆.故选B. 变式 ［2025·江苏丹阳高一期中］ 声强是表示声波强度的物理量， 由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此一般通过声强级 来表示声强强度的大小，规定声强级 （单位：分贝）， ... ...
