2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）（PDF版，含解析）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025全国高中数学联合竞赛 一试试题(A卷) 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1.若log(9x),log(27x),log2,(3x）成等差数列，则正数x的值为 2.设集合A={1,2,3,,100),B={a2+2|a∈A，则AUB的元素个数为 3.设点P在椭圆「，： 亡+上=1上，F,E为「，的两个焦点，线段FP交椭圆 2025 下，9话 =1于点Q,若△FPQ的周长为8，则线段FQ的长度为 4. 设函数f(x)的定义域为R,g(x)=(x-1)f(x),h(x)=f(x)+x·若g(x)为奇 函数，h(x)为偶函数，则f(x)的最大值为 5.若正整数k满足 sin20° sin25 ER(i为虚数单位)，则k的最小值 cos25 c0s20 为 6.设「为任意四棱柱，在「的12条棱中随机选取两条不同的棱1，，，将事件 “I所在直线与(，所在直线平行”发生的概率记为P(T),则P(T)所有可能值为 7.平面中的3个单位向量a,b.c满足a.b=[acH[6c](其中[ 】表示不超过实 数x的最大整数)，则a+b+d的取值范围是 8.将1,2,3，…，9排列为a,b,c,d,e,f,g,h,i,使得3个三位数abc,def,ghi之和等 于2025，则不同的排列方法数为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、 证明过屋或演算步骤. 9.(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，点集 「={xy2=2x+2 若T中的3个不同的点M,P,Q满足：M为PQ的中点，且OP,OQ=-2,求 点M的坐标。 10.(本题满分20分)设正四面体ABCD各棱长均为2。PQ分别是棱AB,AC上 的动点（允许位于棱的端点），AP+AQ=2,.M为棱AD的中点.在△MPQ中， MH为PQ边上的高.求MH长度的最小值. B C 11.(本题满分20分)设a为实数，m,n为正整数，且sinma·sinna≠0 1 1 证明： sinma sinna m.sinma.sinna+sinmna 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛) 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试(A卷)参考答案及评分标准 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各 题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷 时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次， 第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次. 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1.若1og(9x),log(27x),1og2,(3x)成等差数列，则正数x的值为 答案：9. 解：设呢，x=1,则2+宁1号成等差数列，即21+专=2.3 解得1=2，故x=3'=9. 2.设集合A={L,2,3,…,100;,B={a2+2|a∈，则AUB的元素个数 为 答案：194. 解：当a∈[0，oo)时，a2+2关于a严格递增，故B=4=100(X表示有 限集X的元素个数).又1P+2=3>1,62+2=100,故4∩B=6. 所以AUB=4+B-A∩B=100+100-6=194. 3.设点P在椭圆D,:云十广=1上，F,R为T,的两个焦点，线段FP交椭圆 2025 号+1于点Q.若△PO的周长为8，则线段F0的长度为 答案：√14+1. 解：由于√25-20=V14-9,故F,F是「，与「，的公共焦点. 由椭圆的定义知PF+PF=10,|F+QF=2W14,即 PO+PF=10-OF.OF=214-OF 所以10+214-20F=|Pg+PF+QF=8,即线段F2的长为V14+1. 4.设函数f(x)的定义域为R,g(x)=(x-l)f(x),h(x)=f(x)+x.若g(x) 为奇函数，h(x)为偶函数，则f(x)的最大值为 答案： 解：对任意xeR,有8=-8，即-D/--/ h(-x)=h(x), If(-x)-x=f(x)+x. 所以(x-1)f(x)=(x+I)f(-x)=(x+1)f(x)+2x). ... ...