第一章 集合与常用逻辑用语 1．4 充分条件与必要条件 1．4．1 充分条件与必要条件 明确目标 发展素养 1.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 2.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 3.掌握充分条件、必要条件的简单应用. 1.通过对充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2.借助充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养. 充分条件与必要条件 关系 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出 关系 p q pq 条件 关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理 关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件． 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 [微提醒] (1)对于命题“若p，则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看“ ”的推出方向，“箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭尾”的必要条件． (2)若p q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． (4)p是q的充分条件反映了p q，而q是p的必要条件同样反映了p q，这说明p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的同一逻辑关系，只是说法不同． (5)如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作pq．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 题型一 充分条件的判断 [典例1] 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ (1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； (2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0； (3)已知x∈R，p：x>1，q：x>2. [解] (1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C AC>AB，所以p是q的充分条件． (2)由x＝1 (x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件． (3)法一：由x>1x>2，所以p不是q的充分条件． 法二：设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}， 所以B A，所以p不是q的充分条件． [方法技巧] 充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A B，则p是q的充分条件． 【对点练清】 1．直线y＝kx＋b过原点的充分条件是( ) A．b＝0 B．b>0 C．b<0 D．b∈R 解析：选A b＝0时，直线y＝kx过原点，故选A. 2．(多选)使0＜x＜3成立的一个充分条件是( ) A．2＜x≤3 B．0≤x＜1 C．0＜x≤2 D．1＜x＜2 解析：选CD 从集合观点看，求0＜x＜3成立的一个充分条件，就是从A，B，C，D中选出集合{x|0＜x＜3}的子集．由于{x|0＜x≤2} {x|0＜x＜3}，{x|1＜x＜2} {x|0＜x＜3}，故选C，D. 题型二 必要条件的判断 [典例2] 指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：A B，q：A∩B＝A； (3)p：a>b，q：ac>bc. [解] (1)因为矩形的对角线相等， 所以q是p的必要条件． (2)因为p q，所以q是p的必要条件． (3)因为pq，所以q不是p的必要条件． [方法技巧] 必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p q为真，则p是q的充分条件，若q p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A B，则甲是乙的必要条件． 【对点练清】 1．使x>1成立的一个必要条件是( ) A．x>0 B．x>3 C．x>2 D．x<2 解析：选A 只有x>1 x>0，其他选项均不可由x>1推出． 2．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的( ) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件又是必 ... ...
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