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课件网) 6.1 平面向量及其线性运算 6.1.4 数乘向量 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 课堂评价 ◆ 备课素材 【学习目标】 1.理解数乘向量的定义及几何意义，了解数乘向量的运算律； 2.会判定向量平行、三点共线. 知识点一 数乘向量的定义 一般地,给定一个实数 与任意一个向量 ，规定它们的乘积是一个向量，记作 ，其中： （1）当且时，的模为，而且 的方向如下： ①当时,与 的方向_____; ②当时,与 的方向_____. 相同 相反 （2）当或时, ___. 实数 与向量 相乘的运算简称为数乘向量. 知识点二 数乘向量的几何意义 1.数乘向量的结果是一个_____，这个向量与原来的向量_____，即 _____. 2.数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向_____. 向量 共线（平行） 放大或缩小 知识点三 数乘向量的应用 1.当 , 为实数，为向量时， _____. 2.若存在实数 ，使得_____，则 . 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.( ) × [解析] 错误，两向量是否共线要看其方向是否相同或相反，而不是起点或终点 是否相同. （2）（ 为实数），则 必为零.( ) × [解析] 错误，当时，不论 为何值， . （3） ， 为实数，若，则与 共线.( ) × [解析] 错误，当时，，此时与 可以是任意向量. 探究点一 数乘向量的概念及其几何意义 例1 已知, 是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由. （1）的方向与的方向相同，且的模是的模的 倍； 解：该命题是真命题.，与 同向. ,的模是的模的 倍. （2）的方向与的方向相反，且的模是的模的 ； 解：该命题是真命题.，与方向相反，且 . ,与方向相同，且 , 与的方向相反，且的模是的模的 . （3）与 是一对相反向量； 解：该命题是假命题.与 是相反向量， 与 是相等向量. （4）若,不共线，则与 不共线. 解：该命题是假命题.,与 共线. 变式 （多选题）对于非零向量 ，下列说法正确的是( ) ABD A.的长度是的长度的2倍，且与 的方向相同 B.的长度是的长度的，且与 的方向相反 C.若，则 等于零 D.若，则是与 同向的单位向量 [解析] 对于A，的长度是的长度的2倍，且与 的方向相同，故A正确； 对于B，的长度是的长度的，且与 的方向相反，故B正确； 对于C，若，则等于零向量，故C错误； 对于D，若，则是与 同向的单位向量，故D正确.故选 . ［素养小结］ （1）对于,从数的角度来看: 是实数, 是向量,它们的积仍然是向量; ②由得到或 . （2）对于,从形的角度来看:①当时,有,表示向量 的 有向线段在原方向或反方向上伸长倍;②当 时,表示向量 的有向线段在原方向或反方向上缩短为原来的 . 注意：实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如无法运算, 等. 探究点二 向量共线（平行） 例2 已知点在线段的延长线上，且 . 解：如图①，因为点在线段的延长线上，且 ，所以 ， . （1）用 表示 ； 如图②，向量与的方向相同，所以 . （2）用 表示 . 解： 如图③，向量与的方向相反，所以 . 变式 设是非零向量， 是非零实数，则下列结论正确的是( ) B A.与的方向相反 B.与 的方向相同 C. D. [解析] 对于A，当时，与的方向相同，当时，与 的方向相反， 故A不正确； 对于B，显然，故B正确； 对于C，，因为 与1的大小关系不确定，所以与 的大小 关系不确定，故C不正确； 对于D，是向量，而表示向量 的模，两者不能比较大小，故D不正确. 故选B. ［素养小结］ 向量共线不同于直线重合，两个向量平行也称为两个向量共线，但两直线平行 却不能判定两直线共线.判断两个向量,是否共线，只需看是否存在实数 ,使 得 . 探究点三 三点共线 例3 已知向量,,判断和 是否共线. 解：因为且与有公共点，所以，， 三点共线，同 ... ...
