2.3二次函数与一元二次方程、不等式（3知识点 10题型） (原卷版+解析版)-2025-2026学年第一学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点1 一元二次不等式的概念 1.一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 知识点2 一元二次不等式的解法 1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集. 2.含参的一元二次不等式的解法 在解含参数的不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a=0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ=0)，无根(Δ<0). (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1=x2，x10 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a>0)的解集 {x|xx2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x10(a≠0)恒成立 ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立 ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立 ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立 2.在给定范围上的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时大于0. 3.解决简单的能成立问题 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题. (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m