第六章 滚动习题(七) [范围6.2~6.3] （含解析）高中数学人教B版（2019）必修 第二册

滚动习题(七) 1.A　[解析] ∵A,B,∴a==-=.又λ=,∴λa==. 2.D　[解析] 易知||=|2-(-1)|=3,故选D. 3.B　[解析] 因为=a,=b,所以=a-b,=a+b,所以=-=-=-=a-b.故选B. 4.D　[解析] 由题意知F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2).故选D. 5.A　[解析] 因为a=与b=(-1,2)共线,所以2+y=0,即2x+y=1,则=x+y=x+(1-2x),即-=x(-2),所以=x(-)=x(+),如图,取AC的中点E,则=2x,所以动点M的轨迹必经过△ABC的重心. 6.B　[解析] 由2-+3=0,得2(+)=-=.取AC边的中点E,连接OE,则+=2,所以=4,又△OAC与△ABC有相同的底边AC,所以它们的高的比值即为OE与BC的比值,为,所以=.故选B. 7.BC　[解析] 对于A,由|a|=|b|不能得出a∥b,故A错误;对于B,由零向量与任意向量平行,可知当|a|=0或|b|=0时,a∥b,故B正确;对于C,因为a=-2b,所以a∥b,故C正确;对于D,单位向量a与b不一定平行,故D错误.故选BC. 8.BD　[解析] 因为=,所以=,所以=m+n=m+3n,因为B,P,D三点共线,所以m+3n=1,故A错误;3mn≤=,即mn≤,当且仅当m=3n,即m=,n=时取等号,故mn的最大值为,故B正确;+=(m+3n)=++7≥4+7,当且仅当=时取等号,故+的最小值为4+7,故C错误;m2+9n2=(m+3n)2-6mn=1-6mn≥1-6×=,当且仅当m=,n=时取等号,故m2+9n2的最小值为,故D正确.故选BD. 9.±　[解析] 因为3a-λb与λa-2b共线,所以存在唯一实数μ,使得3a-λb=μ(λa-2b),即3a-λb=μλa-2μb,所以可得λ=±. 10.　[解析] 由题知+=+,可整理为(-)=(-),即= ,即=,所以=. 11.　[解析] 设=γ(0≤γ≤1), 则==(+)=(+γ)=+(-)=+, 所以则λ+μ=,即λ=-μ.由0≤γ≤1,可得0≤≤,则μ∈, 故λ2+μ2=+μ2=2μ2-μ+=2+,当μ=时,λ2+μ2取得最小值. 12.解:(1)因为a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1), 所以a+2b-3c=(3,2)+(-2,4)-(12,3)=(-11,3). (2)由a=xb+yc,得(3,2)=(-x,2x)+(4y,y), 即解得 (3)由题得a+kc=(3,2)+(4k,k)=(4k+3,k+2),2b-a=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), 因为(a+kc)∥(2b-a),所以2(4k+3)=-5(k+2),解得k=-, 故实数k的值为-. 13.证明:因为四边形ABCD为平行四边形,所以=+. 设=λ,因为E是AD的中点,所以=2, 故=λ=λ(+)=λ(2+)=2λ+λ. 设=m,即-=m(-), 则=m+(1-m), 所以解得λ=,故=, 同理可得=. 综上可知,R,T为AC的三等分点. 14.解:(1)设=ma+nb,则=-=(m-1)a+nb, =-=-a+b. ∵A,M,D三点共线,∴与共线, ∴×(m-1)=(-1)×n,即m+2n=1①. =-=a+nb,=-=-a+b, ∵C,M,B三点共线,∴与共线, ∴×1=×n,∴4m+n=1②. 由①②可得∴=a+b. (2)证明:易知=-=a+b,=-=-pa+qb. ∵与共线,∴×q-×(-p)=0,即q+p=pq, 又pq≠0,∴+=1.(时间:45分钟　分值:100分) 一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 1.已知=a,且A,B,λ=,则λa= (　 ) A. B. C. D. 2.数轴上的两点A,B的坐标分别为-1,2,则A与B之间的距离是 (　 ) A.-1 B.2 C.1 D.3 3.在平行四边形ABCD中,设=a,=b,=,=,则= (　 ) A.a-b B.a-b C.a+b D.-a+b 4.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现在该点处加上一个力F4,则F4=(　 ) A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 5.[2023·河北邢台高一期末] 已知△ABC所在平面内的动点M满足=x+y,且向量a=与向量b=(-1,2)共线,则动点M的轨迹必经过△ABC的 (　 ) A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心 6.已知O为△ABC所在平面内一点,若2-+3=0,则S△AOC∶S△ABC= (　 ) A.1∶3 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶6 二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分. 7.(多选题)以下选项中,能使a∥b成立的有 (　 ) A.|a|=|b| B.|a|=0或|b|=0 C.a=-2b D.a与b都是单位向量 8.在△ABC中,D为边AC上的一点,且满足=,若P为线段BD上的一点,且满足=m+n(m>0,n>0),则下列结论正确的是 (　 ) A.m+2n=1 B.mn的最大值为 C.+的最小值为6+4 D.m2+9n2的最小值为 三、填空题:本大题 ... ...