2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷 数学 本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. 7 C. i D. 7i 2. 设全集，集合，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知椭圆，过右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 5. 在中，已知，，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 6. 已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（ ） A 81 B. 145 C. 256 D. 273 7. 已知圆，点关于直线的对称点在圆上，直线与圆的另一个交点为，则为（ ） A 2 B. C. 4 D. 8. 若关于x的方程恰有三个不同的实根（），则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在正三棱柱中，，是的中点，是线段上的动点，则（ ） A. B. 正三棱柱的体积为 C. 若，则 D. 直线与是异面直线 10. 设抛物线焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线交C于A，B两点，过点A，B分别作准线的垂线，对应垂足分别为点M，N，连接MF，NF，则（ ） A. 若A，B两点的纵坐标分别为，，则 B. 若，则直线AF的斜率 C. 若，则的面积为 D. 记，，面积分别为，，，则 11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，点在线段上，且，则（ ） A. 角的大小为 B. 若为的角平分线，则 C. 若，则线段的长度的取值范围为 D. 若，则的周长的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则_____. 13. 若函数在点，处的切线互相平行，则_____. 14. 抛掷一枚质地不均匀的骰子，每次掷出点数为5的概率为.若连续抛掷这枚骰子三次，每次抛掷均相互独立，则事件“三次抛掷中恰有1次掷出的点数为5”的概率的最大值为_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C； （2）若，求的周长的取值范围. 16. 设数列满足，. （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和. 17. 已知函数，其中a，b均为实数. （1）若，在点处的切线过定点P，求P的坐标； （2）若，，在处取得最小值，证明：. 18. 如图（一），在中，于点，，四边形是平行四边形.将沿折起至的位置，如图（二）所示，连接，. （1）证明：； （2）是的中点，连接，，记二面角为，二面角为. （i）设三棱锥的外接球球心为O，证明：当时，； （ii）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 已知椭圆的右顶点为A，离心率.定义：点关于E所对应的极线方程为，右焦点关于E所对应的极线方程为. （1）求E的标准方程； （2）设点关于E所对应的极线为直线l，l与x轴交于点Q，过点P作直线（不与x轴重合）交E于B，C两点，直线AB，AC与l分别交于点M，N，如图. （i）连接PM，PN，证明：当时，； （ii）连接 ... ...
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