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课件网) 8.2 三角恒等变换 8.2.4 三角恒等变换的应用 第1课时 三角函数式的化简与求值 探究点一 利用半角公式化简与求值 探究点二 和差化积与积化和差公式的应用 探究点三 利用和差化积与积化和差公式证明三角恒等式 【学习目标】 1.了解半角公式及其推导过程； 2.能根据公式和 进行恒等变换,推导出积化和差与和差 化积公式； 3.灵活运用和、差、倍角公式,积化和差与和差化积公式进行相 关计算及化简、证明. 知识点一 半角公式 _____, _ _____, _ _____ _____. 【诊断分析】 半角公式中“ ”号如何选取 解：符号由角 的终边所在象限决定. 知识点二 和差化积与积化和差公式（不要求记忆） 1.积化和差公式 _____; _____; _____; _____. 2.和差化积公式 _____; _____; _____; _____. 【诊断分析】 不用查表，直接计算求值. （1） _ __； [解析] . （2） _ ____. [解析] . 探究点一 利用半角公式化简与求值 例1（1） [2024·湖南邵阳高一期末]已知 为锐角，若 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为 为锐角，且，所以 ， 所以 .故选A. √ （2）已知，，则 ( ) A.3 B. C. D. [解析] 因为，，所以， ， 所以 .故选D. √ 变式（1） [2024·广州执信中学高二月考]已知, 均为钝角， ，且，则 ( ) A. B. C. D. √ [解析] ，即 ，得. 又因为 ，且A,B均为钝角， 所以， ， 则， 又A，B均为钝角，所以 ，所以 .故选C. （2）[2024·广东佛山顺德区高一期中] 已知， ， 则 _ ____． [解析] 由 可知 ， 故 ． ［素养小结］ 利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍， 则求解时常常借助半角公式求解． （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必 依据角的范围，求出相应半角的范围． （3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常选用 ，其优点是计算时可避免因开方带来的求角 的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常选用 ， . 探究点二 和差化积与积化和差公式的应用 例2（1） 下列四个等式中恒成立的是( ) A. B. C. D. √ [解析] ，故A正确； ，故B不正确； ，故C不正确； ，故D不正确.故选A. （2）若，则 ( ) A. B. C. D. [解析] .故选B. √ 变式（1） 若 ，则 ( ) A. B. C. D. √ [解析] 方法一： .故选D. 方法二：因为 ， 所以 ， 即，即 ， 即，即 . （2）已知,，那么 的值 为____. [解析] 由，得 . 由，得, 所以 ，所以 . ［素养小结］ 积化和差、和差化积公式应用时的注意事项 （1）关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消， 从而化为特殊角的三角函数． （2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项． 拓展 计算 的值. 解： . 探究点三 利用和差化积与积化和差公式证明三角恒等式 例3 证明下列恒等式： （1） ； 证明:左边 右边，所以原等式成立． （2） . 解： . 变式 证明： . 证明： . ［素养小结］ 利用积化和差或和差化积公式证明三角恒等式问题时，首先要观察 等式两侧的角或函数名的差异和联系，其次要合理应用公式进行化 简，注意与其他恒等变换公式的综合应用. 1.已知角 的终边经过点，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由三角函数的定义得， ， 所以 .故选A. √ 2.已知,,则 等于( ) A. B. C. D. [解析] ,, . √ 3. 的值是( ) A. B. C. D. [解析] 原式 .故选A. √ 4.已知，且，则 ( ) A. B. C. D. [解析] ，， ，，， ， .故选D. √ 5.已知，，则_____， _____， ____. [解析] 因为， ，所以. 因为，所以 ，所以，，， 所以 ， ， . 确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的 ... ...
