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课件网) 8.2 三角恒等变换 8.2.4 三角恒等变换的应用 第2课时 三角恒等变换公式的应用 探究点一 三角函数性质问题中的恒等变换公式的应用 探究点二 向量问题中的恒等变换公式的应用 探究点三 化简求值问题中的恒等变换公式的应用 探究点四 证明问题中的恒等变换公式的应用 探究点五 判断三角形形状问题中的恒等变换公式的应用 知识点 三角恒等变换 和差角公式 倍角公式 三角 恒等 变换 公式 正弦 余弦 和差角公式 倍角公式 三角 恒等 变换 公式 正切 半角 公式 续表 和差角公式 倍角公式 三角 恒等 变换 公式 引入 辅助 角 续表 和差角公式 倍角公式 三角 恒等 变换 公式 积化 和差 续表 和差角公式 倍角公式 三角 恒等 变换 公式 和差 化积 续表 探究点一 三角函数性质问题中的恒等变换公式的应用 例1 [2024·上海建平中学高二期中] 已知 ，其中 为实常数． （1）求函数 的最小正周期； 解：由已知得 ， 故函数的最小正周期为 ． （2）若函数的图象经过点，求该函数在区间 上的最 大值，并求取得最大值时 的值． 解：因为，所以 ， 则 ． 令，因为，所以 ， 所以当，即时， ． 故函数在区间上的最大值为1，此时 . 变式 已知函数 ， ，且 的最大值为1. （1）求的值，并求 的单调递增区间； 解： , 则，所以 . 由 ， ， 得 ， ， 所以的单调递增区间为， . （2）在中，内角，，的对边分别为，， ，若 ，且，试判断 的形状. 解：由得， ， 则，因为 ，所以 ， 所以，所以 ， 又，所以 ， 化简得，则 . 因为，所以，所以，所以 ， 所以，故 为直角三角形. ［素养小结］ 应用恒等变换解决三角函数性质的一般思路是：（1）把非特殊角转 化为特殊角的和或差；（2）转化过程中，充分利用诱导公式，构造 两角和或差的正弦公式（或余弦公式）的结构形式. 探究点二 向量问题中的恒等变换公式的应用 例2 已知向量，，， ， ，则 的最大值为( ) A.2 B. C. D.1 [解析] 由题意得 ， ， 因为 ，所以当，即时,取得最大值，且最大值为 ，故选B. √ 变式 （多选题）已知向量 ， ,则下列结论正确的有( ) A.若，则 B.存在 ,使得 C.若在上的投影的数量为，则与的夹角为 D.的最大值为 √ √ √ [解析] 对于A，由，解得 , 由，可得，又 ，所以 ，故A正确； 对于B，假设存在 ,使得，则与方向相反， 令， ，可得则， 由正切函数的图象及, 可知，在内 有解，故B正确； 对于C，由在 上的投影的数量为， 可得 ， 设与的夹角为 ，则 ， 又 ，所以或 ，故C错误； 对于D，,其中 ， 又 ，所以的最大值为，故D正确.故选 . ［素养小结］ 恒等变换公式在向量问题中的应用主要就是依据向量数量积的坐标 运算得到三角函数式，应用恒等变换公式将三角函数式转化为 (或 的形式，进而求解. 探究点三 化简求值问题中的恒等变换公式的应用 例3 已知， .求： （1） 的值； 解： . （2） 的值； 解：，，，且 ， 由可得 ， ， . （3） 的值. 解：原式 . 变式 [2024·上海格致中学高一月考] 已知其中 , 为常数，且 ． （1）求 ； 解：由得 两式相加得 ， 则，即 . （2）若，，求 ； 解：由（1）知，当，时， . ， ， ， ， ， . （3）分别求， ． 解：由（2）知 当时，由可得， ， 则， ； 当时，由可得， ， 则， ； 当且时， ， ， . 验证可知，当或时， 与 都成立. 综上所述，， . ［素养小结］ 恒等变换公式在化简求值问题中的应用主要是利用两角和与差公式、 半角公式、倍角公式、积化和差公式、和差化积公式将表达式进行 化简，解题时要结合角与角之间的关系选择合适的公式化简计算. 探究点四 证明问题中的恒等变换公式的应用 例4 求证： . 证明: ，得证. 变式 求证： （1） ； 证明：左边 右边，得证. （2 ... ...
