本章总结提升 【知识辨析】 1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.× 7.× 8.× 9.× 10.× 【素养提升】 题型一 例1 (1)2 (2) -1 (3)(3,-2) (-∞,-2)∪(-2,1)∪(3,+∞) [解析] (1)因为a=(0,2),b=(,1),所以2a-b=2(0,2)-(,1)=(-,3),所以|2a-b|==2,所以cos
===,又∈[0,π],所以=. (2)方法一:因为=(+),所以点P为BC的中点,又正方形ABCD的边长为2,所以||===,·=||·||·cos∠BPD=1××(-cos∠CPD)=-×=-×=-1. 方法二:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,因为正方形ABCD的边长为2,所以D(0,2),B(2,0).因为=(+),所以点P为BC的中点,所以P(2,1),所以=(0,-1),=(-2,1),所以||==,·=0×(-2)+(-1)×1=-1. (3)设C(x,y),则=(2,-4),=(x-2,y),因为=2,所以解得故C(3,-2).由∠APB是锐角可得·>0且,不共线,因为=(-3,4-t),=(-1,-t),所以(-3)×(-1)+(4-t)×(-t)>0且(-3)×(-t)≠(4-t)×(-1),解得t<-2或-23,故实数t的取值范围为(-∞,-2)∪(-2,1)∪(3,+∞). 变式 (1)A (2)C (3) [解析] (1)以B为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系, 由题意知,A(1,),B(0,0),C(4,0),M(2,0),N,∴=,=(1,-),∴cos ∠NPM=cos<,>===-.故选A. (2)由题知圆O是△ABC的外接圆,因为A=,所以∠BOC=,即OB⊥OC,所以·=0,所以·=(-)·=·-·=-·=-cos<,>,故当, 反向共线时· 最大,最大值为1.故选C. (3)∵=λ,∴AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠B=120°,·=λ·=λ||·||cos 120°=λ×6×3×=-9λ=-,解得λ=.以点B为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.∵BC=6,∴C(6,0),∵AB=3,∠ABC=60°,∴A,又=,∴D.设M(x,0),则N(x+1,0)(其中0≤x≤5),=,=, ·=+=x2-4x+=(x-2)2+,∴当x=2时,·取得最小值. 题型二 例2 解:(1)因为0<α<,0<β<,所以-<α-β<, 所以sin α==,cos(α-β)==, 因为2α-β=α+(α-β),所以sin(2α-β)=sin[α+(α-β)]=sin αcos(α-β)+cos αsin(α-β)=×+×=. (2)因为β=α-(α-β),所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=, 又因为0<β<,所以β=. 变式 (1)A (2)B (3)B [解析] (1)由 0<α<,得 <α+<,则 sin===,则tan==-,所以 tan=tan=-tan=.故选A. (2)依题意有∴tan(α+β)===1.∵∴tan α<0且tan β<0,又α,β∈,∴-<α<0且-<β<0,∴-π<α+β<0,又tan(α+β)=1,∴α+β=-.故选B. (3)∵sin 15°cos 15°cos α-sin α=sin 30°cos α-sin α=cos α-sin α==cos(α+60°)=,∴cos(α+60°)=,∴cos(2α+120°)=2cos2(α+60°)-1=2×-1=-.故选B. 题型三 例3 (1)A (2) [解析] (1)因为tan β=,所以tan 2β==,所以tan(α+2β)==1,又0