第八章 单元素养测评卷(二)A（含解析）高中数学人教B版（2019）必修 第三册

单元素养测评卷(二)A 1.B　[解析] 根据题意得a·b=|a||b|cos=cos=.故选B. 2.B　[解析] sin 25°sin 35°-cos 25°cos 35°=-cos(25°+35°)=-cos 60°=-.故选B. 3.D　[解析] 因为a=(1,2),b=(2,-2),所以2a+b=(4,2),又因为c⊥(2a+b),所以c·(2a+b)=0,即4λ-2=0,所以λ=.故选D. 4.A　[解析] cos 75°-sin 75°=cos(45°+30°)-sin(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°-(sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°)=-sin 45°sin 30°-cos 45°sin 30°=-.故选A. 5.A　[解析] 因为0<α<,所以<α+<,则sin==,所以sin α=sin=sincos-cossin=×-×=.故选A. 6.D　[解析] 因为|2a-b|=4,所以4a2+b2-4a·b=16,又因为|a|2=2,|b|2=4,所以a·b=-1,所以b在a上的投影为·a=-a.故选D. 7.B　[解析] 因为sin 36°(1+sin 2α)=2sin 18°cos 18°(1+sin 2α),所以2cos218°cos 2α=2sin 18°cos 18°(1+sin 2α),整理得cos 18°cos 2α=sin 18°sin 2α+sin 18°,即cos 18°cos 2α-sin 18°sin 2α=sin 18°,即cos(2α+18°)=sin 18°.因为0°≤α<90°,所以18°≤2α+18°<198°,所以2α+18°=90°-18°,解得α=27°.故选B. 8.C　[解析] 将f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x的图象向左平移φ个单位得到g(x)=cos(2x+2φ)的图象.因为g(x)为奇函数,所以g(0)=cos 2φ=0,则2φ=+kπ,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又0<φ<,所以φ=.故选C. 9.AD　[解析] 对于A,由tan(25°+35°)==,得tan 25°+tan 35°+tan 25°·tan 35°=,故A正确;对于B,cos2 -sin2 =cos=,故B错误;对于C,-===4,故C错误;对于D,因为=tan(2×22.5°)=1,所以=,故D正确.故选AD. 10.BC　[解析] 由题知a+3b=(10,10),a-2b=(-5,-10),故A错误;a·b=-5,b2=25,所以向量a在向量b上的投影是·=-b,故B正确;2a-b=(-1,-8),所以|2a-b|=,故C正确;a2=5,所以向量b在向量a上的投影是·=-a,故D错误.故选BC. 11.ABC　[解析] 对于A选项,|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=1,因为a,b为单位向量,所以a·b=,所以a在b上的投影为·=b,故A正确;对于B选项,设BC的中点为D,则+=,又=λ(λ≥0),所以A,P,D三点共线,故B正确;对于C选项,·=·(-)=·-·=-,因为边AB,AC的长为定值,所以·为定值,故C正确;对于D选项,由=可得在,上的投影的数量相等,则点O到AB,AC的距离相等,所以点O在角A的平分线上,同理可得点O在角C的平分线上,则点O为内心,故D错误.故选ABC. 12.　[解析] 由题意可知-(F1+F2)=F3,且|F1|=1,则=+2F1·F2+=1+2×1×2×cos 120°+4=3,所以|F3|=. 13.　　[解析] 在△ABC中,因为AB=2,AC=3,∠BAC=120°,所以·=||·||cos 120°=-3.由题意得=(+),=+=λ-,所以||2==(+2·+)=×(4-6+9)=,所以||=.由·=可得(+)·(λ-)=+(λ-1)·-=-(λ-1)-2=3λ-=,解得λ=. 14.　　[解析] 因为cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=,又因为α,β均为锐角,所以α,β∈,则2α∈(0,π),所以2α∈,所以2α-β∈,sin 2α==,又sin β=,所以cos β==,则sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β=×-×=,所以2α-β=. 15.解:(1)由题图知,a=(2,0),|a|=2. 因为b在a上的投影为2a,所以b在a上的投影的数量为2|a|=4. 设b=(x,y),则==4,即x=4,又|b|==2,所以y=±2,所以b=(4,±2), 故以B为始点的向量b如图所示,所以a·b=2×4=8. (2)由题易知,=(3,-1),=(-2,3). 设=λ(0≤λ≤1),则=(-2λ,3λ),=+=(3-2λ,3λ-1),所以·=-2λ(3-2λ)+3λ(3λ-1)=13λ2-9λ, 则当λ=1时,·取得最大值4. 16.解:(1)由题知|a|=1,|b|=1. 由|a-b|=,可得a2-2a·b+b2=,则a·b=,即cos αcos β+sin αsin β=,即cos(α-β)=. (2)因为-<β<0<α<π,所以0<α-β<, 又cos(α-β)=,所以0<α-β<,所以sin(α-β)==, 因为-<β<0,sin β=-,所以cos β==, 故sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=×+×=. 17.解:(1)证明: ... ...