9.2.3 向量的数量积-第1课时 向量数量积的定义、投影向量（课件 学案 练习）高中数学 苏教版（2019）必修 第二册

9.2.3　向量的数量积 第1课时　向量数量积的定义、投影向量 【课前预习】 知识点一 1.|a||b|cos θ　a·b　a·b=|a||b|cos θ　0 2.　[0°,180°] 诊断分析 1.解:向量的线性运算结果是向量,而向量的数量积运算结果是数量. 2.解:数量积的符号是由两个非零向量的夹角θ决定的.当0°≤θ<90°时,非零向量的数量积为正数.当θ=90°时,非零向量的数量积为零.当90°<θ≤180°时,非零向量的数量积为负数. 知识点二 (1)a·b=0　(2)|a||b|　-|a||b|　|a|2　 (3)a∥b 诊断分析 (1)×　(2)√　[解析] (1)∵a∥b,∴当a与b同向时,a·b=|a|·|b|=8;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|=-8. 知识点三 投影　投影向量　(|a|cos θ)　投影向量　数量积 a·b=·b 诊断分析 C　[解析] a在e上的投影向量为(|a|cos 30°)e=(4×cos 30°)e=2e. 【课中探究】 探究点一 例1　解:设a与b的夹角为θ. (1)若a与b同向,则θ=0°,∴a·b=|a|·|b|cos 0°=4×5=20;若a与b反向,则θ=180°,∴a·b=|a|·|b|cos 180°=4×5×(-1)=-20. (2)当a⊥b时,θ=90°,∴a·b=|a|·|b|cos 90°=0. (3)当a与b的夹角为30°时,a·b=|a|·|b|cos 30°=4×5×=10. 变式　0　16　-16　[解析] 由题意知B=90°,A=C=45°,AC=4,∴·=0,·=||·||·cos 45°=4×4×=16, ·=||·||·cos 135°=4×4×=-16. 探究点二 例2　C　[解析] 由平面向量数量积的定义知①正确;当a,b反向共线时,a·b=-|a||b|,故②错误;③显然正确;若a+b=0,则a=-b,又a,b,c是三个非零向量,所以a·c=-b·c,所以|a·c|=|b·c|,故④正确;|a·b|=|a||b|·|cos θ|,a·b=|a||b|cos θ,所以|a·b|≥a·b,故⑤错误;当a与b的夹角为0°时,也有a·b>0,故⑥错误.综上可知,①③④正确.故选C. 变式　C　[解析] 对于①,设a,b的夹角为θ,∵a·b=|a||b|cos θ,a·b=±|a||b|,a,b为非零向量,∴cos θ=±1,∴θ=0或π,∴a∥b,故①正确;对于②,若a,b反向共线,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a||b|·cos π=-|a||b|,故②正确;对于③,将向量a,b的起点平移到同一点,以表示向量a,b的有向线段为邻边作平行四边形,因为a⊥b,所以该平行四边形必为矩形,于是它的两条对角线长相等,则|a+b|=|a-b|,故③正确;对于④,|a|=|b|,则当a与c的夹角和b与c的夹角不相等时,|a·c|≠|b·c|,故④错误.综上可知,①②③正确.故选C. 探究点三 例3　解:(1)∵|b|=1,∴b为单位向量, ∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·b=3×b=-b. (2)∵|a|=3,∴=a, ∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°·=1××a=-a. 变式　(1)A　(2)B　(3)-e　[解析] (1)在等边三角形ABC中,∵∠BAC=60°,∴向量在向量上的投影向量为,∴向量在向量上的投影向量为-.故选A. (2)因为a在b上的投影向量为·=b,所以a·b=|b|2=.故选B. (3)由题意得,向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·e=2×·e=-e.9.2.3　向量的数量积 第1课时　向量数量积的定义、投影向量 1.D　[解析] 设a,b的夹角为θ,则θ=.因为|a|=2|b|,θ=,所以a在b上的投影向量为|a|cos θ·=cos θ·b=2cos·b=-3b.故选D. 2.B　[解析] A中说法显然正确;当a,b都是非零向量,且a⊥b时,a·b=0也成立,故B中说法错误;设a,b的夹角为θ,若a,b都是非零向量,则|a·b|=||a||b|cos θ|≤|a||b|,若a=0或b=0,则|a·b|=0=|a||b|,故C中说法正确;设a,b的夹角为θ,当a,b都是非零向量且共线时,θ=0或θ=π,则cos θ=±1,所以a·b=±|a||b|,当a=0或b=0时,a·b=0=|a||b|,也满足a·b=±|a||b|,故D中说法正确.故选B. 3.A　[解析] 设a,b的夹角为θ,则a在b上的投影向量为|a|cos θ·e=4e,∴|a|cos θ=4,∴a·b=|a||b|cos θ=4×3=12.故选A. 4.C　[解析] 设a,b的夹角为θ,则cos θ===-,因为θ∈[0°,180°],所以θ=120°,即a与b的夹角是120°.故选C. 5.D　[解析] a,b是两个单 ... ...