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课件网) 10.2 二倍角的三角函数 探究点一 利用倍角公式求解 探究点二 给值求值 探究点三 利用倍角公式证明 探究点四 倍角公式在实际生活中的应用 【学习目标】 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、 正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换,并能灵活地将 公式变形应用. 知识点一 倍角公式 1. ,令 ,得 . 2. ,令 ,得 _____ _ . 3. ,令 ,得 . 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 是 的倍角， 是 的倍角.( ) √ [解析] 是 的2倍， 是 的2倍. （2）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( ) × [解析] 二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的 正切公式，要求 且 . （3）存在角 ，使得 成立.( ) √ [解析] 当时， . 知识点二 二倍角公式的逆用 _____, _____， _____, _____. 【诊断分析】 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） .( ) × [解析] . （2） .( ) √ [解析] . 2.你能用 与 表示 吗？试试看. 解： . 知识点三 升幂公式与降幂公式 升幂公式: _____, _____, _____, _____. 降幂公式: _____,_____， _____. 探究点一 利用倍角公式求解 例1 求下列各式的值: （1） ; 解： . （2） ; 解： . （3） . 解： . 变式 求下列各式的值: （1） ; 解： . （2） ; 解： . （3） . 解： . ［素养小结］ 对于给角求值问题，一般有两类： （1）直接正用、逆用倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数关系 对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用倍角的 正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用倍角公式的 条件，使得问题出现可以连用倍角的正弦公式的形式. 探究点二 给值求值 例2（1） 已知,,则____, _____, ____, _ ___. [解析] 由,,得 , , , . （2）已知,,求 和 的值. 解：由,得,则,即 . 因为,所以,所以 , 故 . 变式（1） 若，则 __. [解析] 因为 ， 所以 . （2）已知 为锐角，若，则 ____. [解析] 令，则，由得， . 因为 为锐角，所以，所以，即 ， 所以 ， 所以 . （3）已知，求 ， 的值. 解： ， 因为，所以 . ， 则 . ［素养小结］ （1）条件求值问题常有两种解题途径： ①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名 靠拢. ②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名 靠拢，以便将题设条件代入结论. （2）一个重要结论： . 探究点三 利用倍角公式证明 例3 证明： . 证明： . 变式 求证： . 证明：左边 右边. ［素养小结］ 证明与三角函数有关问题的一般步骤:找出角、函数名称、式子结构 等方面的差异,根据“复角化单角”“异名化同名”“切化弦”“变量集中” 等原则,消除差异. 拓展 已知 ,,且, , 求证: . 证明：由得 ①， 由得 . ，，，， ，由①②得 ，即，即 ， 又 , . 探究点四 倍角公式在实际生活中的应用 例4 [2024·江苏无锡高一期末] 如图，有一块半径为2的半圆形钢板， 其中为圆心，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底 是半 圆的直径，上底的端点在圆周上.记梯形的周长为 ， . （1）将表示成 的函数； 解：由是半圆的直径，得 ， 则 ， 过作交于，连接 ，如图， 则 , ， 故 ， 所以, . （2）求梯形 周长的最大值. 解：由（1）知， , ， 设 ， 则，显然当时， 有最大值10， 所以梯形 周长的最大值是10. 变式 如图，点在直径的半圆上移动，过作半圆的切线 且， ，问 为何值时，四边形 面积最大？ 解：连接，如图所示， 为半圆的直径， ， 又， ， ， . 又与半圆相切于点 ， ， . ， ， 当，即时， 最大. ［素养小结］ 利用三角函数知识解决实 ... ...
