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课件网) 10.3 几个三角恒等式 探究点一 积化和差与和差化积公式 探究点二 应用半角公式化简与求值 探究点三 三角函数式的化简与证明 【学习目标】 1.了解积化和差与和差化积公式的推导过程. 2.能用二倍角公式推导出半角公式. 3.能利用以上公式进行简单的求值. 知识点一 积化和差与和差化积公式 （1）积化和差公式 _____. _____. _____. _____. （2）和差化积公式 _____. _____. _____. _____. 知识点二 半角公式 （1） _ _____. （2） _ _____. （3）_ _____ _____. 知识点三 万能代换公式 （1） . （2） . （3） . 【诊断分析】 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）半角公式对任意角都适用.( ) × [解析] 当 时，半角的正切公式不成立. （2） .( ) × [解析] 只有当 ，即 时，才有 . （3）存在，使得 .( ) √ [解析] 当时， 成立. 2.（1）降幂公式的等式两端的角度发生了什么变化 解：从左向右,幂次降低,角度加倍;从右向左,幂次升高,角度减半. （2）半角公式中“ ”号如何选取 解：符号由 的终边所在的象限决定. 探究点一 积化和差与和差化积公式 例1（1） 求 的值； 解： . （2）求 的值； 解： . （3）已知，，求 的值. 解：因为，所以 . 因为，所以 . 因为，所以由①②得 ，即 ， 所以 . 变式（1） 化简： . 解：原式 . （2）求 的值. 解：方法一：原式 . 方法二：原式 . ［素养小结］ 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数的积，那么化得的结 果应为与 的和或差；如果形式为同名函数的积， 那么化得的结果应为与 的和或差. 探究点二 应用半角公式化简与求值 例2（1） 设 ，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] ，， 又 ， . √ （2）已知 为钝角， 为锐角，且， ，则 _ ____. [解析] 因为 为钝角， 为锐角，且， ， 所以， ， 所以 . 因为 且，所以 ，所以 ， 所以 . 变式 在中，若，，求，， 的值. 解：因为，， 均为三角形的内角， 所以， ， 所以， 所以 ，， . ［素养小结］ 利用半角公式求值的思路: （1）看角,看已知角与待求角的2倍关系; （2）明确范围,求出相应半角的范围; （3）选公式,涉及半角公式的正切值时,常用 计算,涉及半角公式的正、余弦值时,常用, 计算; （4）下结论，结合（2）求值. 探究点三 三角函数式的化简与证明 例3（1） 已知， ，求 的值. 解： ， ， . ，， . （2）证明： . 证明：右边 左边， . 变式1 已知，求 的值. 解： ，， ， ， ， . 变式2 已知，求证： . 证明： . ［素养小结］ 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、 左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从 左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证等 方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公 式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法. 1.三角恒等变换 在进行三角恒等变换时，除了要注意运用一般的数学思想方法 （如换元思想、方程思想、化归思想等）来分析解决问题外，还要 注意基本的三角恒等变换思想方法的灵活运用. 2.常值代换 用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数， 代换后能运用相关公式使化简得以顺利进行.我们把这种代换称为常 值代换.如前面所讲到的“1”的代换就是一种特殊的常值代换. 3.切化弦 当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切时，利用同角三角函 数的基本关系 将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦” 的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称的种类. 4.公式的逆用和变形 灵活逆用和变形公式可以丰富三角恒等变换的方法.例如： 可 变形为 ； （或 ）实为（或 ）的 逆用. 5.半角公式 （1 ... ...
