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课件网) 11.1 余弦定理 第1课时 余弦定理 探究点一 已知三边解三角形 探究点二 已知三角形两边及其夹角解 三角形 【学习目标】 1.了解利用向量推导余弦定理的过程. 2.掌握余弦定理的表示形式，并能用余弦定理解决基本的解三角 形问题. 知识点一 余弦定理 文字语言 三角形任何一边的_____等于其他两边_____减去这两边与它们夹角的_____的两倍 符号语言 变形 平方 平方的和 余弦的积 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任 何三角形.( ) √ [解析] 余弦定理反映了任意三角形的边角之间的关系,它适用于任何 三角形. （2）在三角形中,勾股定理是余弦定理的特例.( ) √ [解析] 余弦定理可以看作勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的 特例. （3）在中,已知 ,,,则 .( ) √ [解析] ,所以 . 知识点二 利用余弦定理解三角形 1.我们把三角形的三个角和_____叫作三角形的元素.已知三角形 的几个元素求其他元素的过程叫作_____. 三条边 解三角形 2.利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题: （1）已知三边,求三个角； （2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角的问题.( ) √ [解析] 结合余弦定理及三角函数知识可知正确. （2）利用余弦定理可将有关三角形中角的余弦转化为边的关系.( ) [解析] 利用余弦定理可将有关三角形中角的余弦转化为边的关系． √ 探究点一 已知三边解三角形 例1（1） 在中,已知,,,求内角 的大小. 解：由余弦定理,得, 又 ，所以 . （2）在中,已知,,,求内角 的大小. 解：由余弦定理得 , 又,所以 . 变式（1） 在中，内角，，的对边分别为，， ， 若，，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由余弦定理可得， ， .故选A. √ （2）已知锐角三角形的三边长为2,3,,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为三角形的三边长为2,3,,所以解得 . 因为三角形为锐角三角形,所以三个内角都为锐角, 由余弦定理得可得. 综上，的取值范围是 ， .故选C. √ ［素养小结］ 已知三角形的三边解三角形的方法： （1）先利用余弦定理求出其中两个角的余弦，从而求出两个角，再 利用三角形的内角和定理求出第三个角． （2）利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角． 拓展 在中,已知,,,求 的最大内角与最小 内角的和. 解：由，可知 ， 由余弦定理得， 因为 ，所以 ，所以 ， 故的最大内角与最小内角的和为 . 探究点二 已知三角形两边及其夹角解三角形 例2 在中,已知, , ,解此三角形. 解：由余弦定理得 , . 由余弦定理得 ， , , 故 . 变式 在中，已知，，且 ，求 . 解：在中,由得或 ， 因为，所以，所以为锐角，所以 . 由余弦定理得，所以 . 由余弦定理得,又 ,所以 . ［素养小结］ 已知三角形两边及其夹角求三角形其他未知元素时，应先根据余弦 定理求出第三边，再利用余弦定理求未知角． 1.余弦定理的特点 （1）等式左侧为一条边的平方,等式右侧很像另两边的完全平方式, 但多了一个角的余弦,这个角正好是等式左侧的边所对的角; （2）余弦定理对任意三角形都成立; （3）余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. 2.余弦定理的适用范围 （1）余弦定理把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的 方法从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式; （2）在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的特点,可以 知三求一. 1.已知两边及其夹角,可直接使用余弦定理求解. 例1 在中，内角,,所对的边分别为,,,已知 ， ， ，求角 的大小. 解：因为 ，所以 ... ...
