6.2.3 向量的数乘运算 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

6.2.3　向量的数乘运算 【课标要求】　1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义． 【导学】 学习目标一　向量的数乘运算 　师问：如图，已知非零向量a作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？ 生答： 例1 (多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是(　　) A．当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反 B．当λ＝0时，λa与a是共线向量 C．|λa|＝λ|a| D．当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同 总结：λ的正负决定向量λ≠的方向，的模． 跟踪训练1　设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　) A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|>|λ||a| 学习目标二　向量的线性运算 　师问：类比实数的乘法运算律，那么数乘向量有什么运算律呢？ 生答： 例2 (1)化简：[(3a－2b)＋5a－(6a－9b)]. (2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n. 总结：(1)向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项，合并同类项等变形手段． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 跟踪训练2　(1)(2a＋8b)－(4a－2b)＝(　　) A．－3a－6b B．6b－3a C．2b－3a　 D．3a－2b (2)已知向量x，y满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则x＝_____，y＝_____(用a，b表示)． 学习目标三　用已知向量表示其他向量 例3 如图所示，平行四边形AOBD中，设向量＝b，又，用a，b表示. 用已知向量表示其他向量的两种方法 跟踪训练3　梯形ABCD中，，设＝n，则＝(　　) A．－＋2n B．－2n C．m－2n D．－m＋2n 学习目标四　向量共线定理 　师问：(1)若向量a，b是共线向量且a≠0，是否存在一个实数λ，使得b＝λa (2)若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且，那么x与y有什么关系？ 生答： 例4 已知非零向量e1，e2不共线． (1)如果＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线． (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值. 【一题多变】　本例条件不变，将(2)改为：欲使ke1＋2e2和2e1＋ke2共线，试确定实数k的值． 总结：(1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得(或等)即可． (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等求解． 跟踪训练4　(1)已知a，b为不共线的非零向量，＝3a－3b，则(　　) A．A，B，C三点共线 　B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 　D．A，C，D三点共线 (2)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)平行，则λ＝_____． 【导练】 1．10(a＋b)－(a－b)＝(　　) A．9a＋9b B．9a＋11b C．11a＋9b D．11a＋11b 2．在 ABCD中，2a，＝3b，则＝(　　) A．a＋b　　B．a－b C．2a＋3b　　D．2a－3b 3．如图所示，已知在△ABC中，D是△ABC的边AB的中点，则＝(　　) A. B． C． D． 4．设e1，e2是两个不共线向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则实数k＝_____． 【导思】 已知在△ABC中，O为其内任一点，满足＝0，且＝＝，则△ABC为_____三角形． 6．2.3　向量的数乘运算 导　学 学习目标一　生答：＝＝a＋a＋a＝3a. ＝＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a. 显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍． 例1　解析：根据 ... ...