1.3.2空间向量运算的坐标表示 课件（共21张PPT）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3.2空间向量运算的坐标表示 1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题． 2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．（重点） 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题． （难点） 学习目标 导 新知探究 思考：你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量的坐标运算吗？ 平面向量的坐标运算 类 比 空间向量的坐标运算 学 【例1】 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是（－1，2，1）， （1，3，4），（0，－1，4），（2，－1，－2）.若p＝???????? ，q＝???????? ， 求下列各式的值：（1）p＋2q；（2）3p－q；（3）（p－q）·（p＋q）. ? 3p－q＝（4，3，15）. （p－q）·（p＋q）＝p2－q2＝｜p｜2－｜q｜2 ＝（22＋12＋32）－[22＋02＋（－6）2]＝－26. p＝???????? ＝（2，1，3），q＝???????? ＝（2，0，－6）. p＋2q＝（2，1，3）＋2（2，0，－6）＝（6，1，－9）. ? 展+评 训练1　（1）已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且???????? ＝ 2a，则点B的坐标为（　D　） ? A. （－7，10，24） B. （7，－10，－24） C. （－6，8，24） D. （－5，6，24） D （2）已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是（2，－1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），则适合条件???????? ＝12 （???????? －???????? ） 的点P的坐标为 ?. ? （5，12 ，0） ? 展+评 新知探究 思考：我们回忆下平面向量的坐标表示证明平行、垂直，求取模长、角度等问题。类比到空间向量中，是否有类似的公式？ 平面向量坐标运算 类 比 空间向量坐标运算 设 设 当 时， 当 时， 学 新知探究 思考：我们回忆下平面向量的坐标表示证明平行、垂直，求取模长、角度等问题。类比到空间向量中，是否有类似的公式？ 平面向量坐标运算 类 比 空间向量坐标运算 设 则 设 则 空间两点间的距离公式 学 新知探究 空间中点坐标公式和重心坐标公式 在空间直角坐标系中，点 和点 的中点坐标为: 在空间直角坐标系中，已知点 ，点 ， 点 ，则△ABC的重心坐标为: 学 训练2　（1）已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2）， 且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝（　　） A. 1 B. 15 C. 35 D. 75 A. 1 √ ka＋b＝（k－1，k，2），2a－b＝（3，2，－2）， （ka＋b）·（2a－b）＝3（k－1）＋2k－4＝0，解得k＝75 . ? 展+评 【例3】（链接教材P21例3）如图所示，三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底 面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝π2 ，AA'＝2，点N是A'A的中点. ? （1）求｜???????? ｜； ? （2）求 cos ＜????????′ ，????????′ ＞的值. ? 展+评 解：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC'所在直线 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 由题意，得B（0，1，0），N（1，0，1）. 则???????? ＝（1，－1，1）， ｜???????? ｜＝12＋(?1）2＋12 ＝3 . ? （1）求｜???????? ｜； ? 展+评 （2）求 cos ＜????????′ ，????????′ ＞的值. ? 解：B（0，1，0），C（0，0，0），A'（1，0，2），B'（0，1，2）. 因为????????′ ＝（1，－1，2），????????′ ＝（0，1，2）， 所以｜????????′ ｜＝12＋(?1）2＋22 ＝6 ， ｜????????′ ｜＝02＋12＋22 ＝5 ， ????????′ ·????????′ ＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3， cos ＜????????′ ，????????′ ＞＝????????′·????????′｜????????′||????????′｜ ＝36×5 ＝3010 . ? 展+评 训练3　在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1， AD＝2. （1）求BP的长； （2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 展+评 解：如图，建立空间直角坐标系. ∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2， ... ...