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课件网) 11.2 正弦定理 第1课时 正弦定理 探究点一 已知两角及一边解三角形 探究点二 已知两边及一边的对角解三 角形 探究点三 正弦定理的应用 【学习目标】 1.了解利用向量和三角形边角关系推导正弦定理的过程. 2.掌握正弦定理及其变形的结构特征和功能，并能用正弦定理解 决三角形中边、角等问题. 3.能用正弦定理解决简单的实际应用问题并证明平面几何的相关 结论. 知识点一 正弦定理 1.正弦定理 文字语言 三角形的各边与它所对角的_____的比相等 符号语言 正弦 2.正弦定理的常见变形（其中为 外接圆的半径） （1） ; （2） ; （3）,, ; （4）,， ; （5） . 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）正弦定理适用于任意三角形.( ) √ [解析] 正弦定理适用于任意三角形. （2）在中，等式 总能成立.( ) √ [解析] 由正弦定理知，即 . （3）在某个确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比值是一个 定值.( ) √ [解析] 根据正弦定理，在一个确定的三角形中，各边与它所对角的 正弦的比等于该三角形的外接圆直径，其值是一个定值. 知识点二 利用正弦定理解三角形 1.利用正弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题: （1）已知两角和任一边,求_____； （2）已知两边和其中一边的对角,求_____（从而进一步求 出其他的边和角）. 其他两边和一角 另一边的对角 2.在中，已知，和，用正弦定理求 时的各种情况如下： 图 形 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 关系 式 解的个数 一解 两解 无解 一解 无解 续表 【诊断分析】 在中，，， ，则满足条件的三角形有___个. 2 [解析] ，，， 根据，得 ， 解得. ， 的值有2个，即满足条件的三角形有2个. 知识点三 正弦定理在实际生活中的应用 1.仰角与俯角 名称 定义 图形说明 仰角 与俯 角 在同一铅垂面内,视线在_____ ____时与水平线的夹角叫仰角,视 线在_____时与水平线的 夹角叫俯角 _____ 水平线上方 水平线下方 2.两点中一点不可到达如图，可选取与点 同侧的 点，测出以及和 ，先应用内角和 定理求出，再利用正弦定理求出 . 探究点一 已知两角及一边解三角形 例1 在中，已知， ， ，求 的值. 解：根据三角形内角和定理，得 ， 根据正弦定理，得 . 变式（1） 在中,,,,则 ( ) A.1 B. C. D. [解析] 因为,,所以 , 由正弦定理可得 .故选C. √ （2）[2024·安徽宿州高一期中]在中，内角,, 的对边分别 为,,，若,,，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由，可得，由 ，得 .故选D. √ ［素养小结］ 正弦定理实际上是三个等式：;； .每 个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． 探究点二 已知两边及一边的对角解三角形 例2 在中，已知， ， ，解三角形. 解：，， 或 . 当 时， ，； 当 时， ，. 综上，， ， 或， ， . 变式 在中，若，，，求，， . 解：由，得，或 . ，，， ， . ［素养小结］ 已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的 正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定 该角有一个值还是两个值． 拓展 （多选题）在中，内角,,的对边分别为,, ，则下 列对 的解的情况判断正确的是 ( ) A.当,, 时，有两解 B.当,, 时，有一解 C.当,, 时，无解 D.当,, 时，有两解 √ √ [解析] 对于A，由正弦定理得，即 ， 所以，因为 ,，所以 或 ， 三角形有两解，故A正确； 对于B，由正弦定理得 ， 三角形无解，故B错误； 对于C，由正弦定理得 ， 三角形无解，故C正确； 对于D，由正弦定理得， 又 ，所以B为锐角，三角形只有一解，故D错误.故选 . 探究点三 正弦定理的应用 角度1 正弦定理的实际应用 例3 如图所示，在山顶铁塔上 处测得地面上 一点的俯角为 ... ...
