13.2 基本图形位置关系 13.2.1 平面的基本性质 【课前预习】 知识点一 2.②ABCD 诊断分析 (1)× (2)× (3)× [解析] (1)平面是向四周无限延展的. 知识点三 诊断分析 (1)√ (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面上,且这三个着地点不在同一条直线上,所以根据推论1知自行车有一个脚撑就可站稳. (2)由线段AB在平面α内知,直线AB上至少有两点在平面α内,则由基本事实2知,直线AB在平面α内. (3)由基本事实3知,两个平面的交线是一条直线. 【课中探究】 探究点一 例1 解:(1)A∈α,B α,如图: (2)M α,M∈a,如图: (3)a α,a β(或α∩β=a),如图: 变式 (1)B [解析] 由题意知A∈b,b β,即A∈b β. (2)解:在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B. 在②中,α∩β=l,a α,b β,a∩l=P,b∩l=P,a∩b=P. 探究点二 例2 证明:(1)分别延长D1F,DA,设交点为P,如图,∵P∈DA,DA 平面ABCD,∴P∈平面ABCD. ∵F是AA1的中点,FA∥D1D, ∴A是DP的中点,连接CP, ∵AB∥DC,∴CP,AB的交点为线段AB的中点,即为E, ∴CE,D1F,DA三线交于点P. (2)连接CD1,在(1)的结论下,G是D1E上一点,FG交平面ABCD于点H,则FH 平面PCD1,∴H∈平面PCD1,又H∈平面ABCD,∴H∈平面PCD1∩平面ABCD, 同理,P∈平面PCD1∩平面ABCD, E∈平面PCD1∩平面ABCD, ∴P,E,H都在平面PCD1与平面ABCD的交线上, ∴P,E,H三点共线. 变式 证明:(1)因为在梯形ABCD中,AD∥BC,所以AB,CD是梯形ABCD的两腰,所以AB,CD必定相交于一点. 设AB∩CD=M,因为AB α,CD β, 所以M∈α,M∈β,所以M∈α∩β. 又α∩β=l,所以M∈l,即AB,CD,l三线共点. (2)连接BD,因为M∈AB,N∈AD,AB 平面ABD,AD 平面ABD,所以MN 平面ABD. 因为E∈CB,F∈CD,CB 平面CBD,CD 平面CBD, 所以EF 平面CBD. 因为直线MN与直线EF相交于点O, 所以O∈MN,O∈EF,所以O∈平面ABD,O∈平面CBD, 又平面ABD∩平面CBD=BD,所以O∈BD, 所以B,D,O三点共线. 探究点三 例3 证明:如图,在平面ABCD内,连接AE并延长,交DC的延长线于点M,则有CM=CD. 在平面PCD内,连接GF并延长,交DC的延长线于点M1. 取GD的中点N,连接CN,EF, 则由PG=PD可知PG=GN=ND. ∵点F为PC的中点,∴FG∥CN,即GM1∥CN, ∴在△GM1D中,CM1=CD,∴点M与点M1重合, 即AE与GF相交于点M,∴A,E,F,G四点共面. 变式 解:(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中, ∵AA1∥CC1,∴AA1与CC1能确定一个平面. (2)∵点B,C1,D不共线, ∴点B,C1,D能确定一个平面. (3)如图,设 AC∩BD=O,CD1∩DC1=E,连接OC1,OE. ∵O∈AC,O∈BD,AC 平面AA1C1C,BD 平面BC1D, ∴O∈平面AA1C1C,O∈平面BC1D. 又C1∈平面AA1C1C,C1∈平面BC1D, ∴平面AA1C1C∩平面BC1D=OC1. 同理,平面ACD1∩平面BC1D=OE. 拓展 证明:分两种情况讨论: ①有三条直线过同一点,如图①所示. ∵A d,∴点A与直线d可以确定一个平面α, 又B,C,D∈d,∴B,C,D∈α, ∴AB α,AC α,AD α, ∴a,b,c,d四条直线共面. ②任意三条直线都不过同一点,如图②所示. ∵a∩b=A,∴直线a与直线b可以确定一个平面α, 又D,E∈b,B,C∈a,∴D,E∈α,B,C∈α. 由B,E∈α,得c α;由C,D∈α,得d α. 因此a,b,c,d四条直线共面. 综上,两两相交但不过同一点的四条直线共面.13.2 基本图形位置关系 13.2.1 平面的基本性质 1.C [解析] 由平面的概念可知选C. 2.D [解析] 点A在直线l上用符号表示为A∈l,直线l在平面α内用符号表示为l α.故选D. 3.B [解析] 对于选项A,经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面,故A可以确定一个平面.对于选项B,对边相等的四边形,对边有可能不在同一平面内,故B不能确定一个平面.对于选项C,经过两条相交直线有且只有一个平面,故C可以确定一个平面.对于选项D,经过两条平行直线有且只有一个平面,故D可以确定一个平面.故选B. 4.C [解析] ... ...
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