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课件网) 13.2 基本图形位置关系 13.2.3 直线与平面的位置关系 第3课时 线面角、线面垂直的综合应用 探究点一 求直线与平面所成的角 探究点二 线面垂直的综合应用 【学习目标】 1.理解直线和平面所成的角的概念. 2.理解并熟练掌握线面垂直、线线垂直的转化，并能证明一些空 间位置关系的简单命题. 知识点一 直线与平面所成的角 1.斜线、射影的定义 （1）斜线：一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条 直线叫作这个平面的 _____，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上 一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的_____. 斜线 斜线段 （2）射影：如图，过平面外一点向平面 引 斜线和垂线，那么过斜足和垂足的直线就是 斜线在平面内的射影，线段 就是斜线段在 平面 内的_____. 射影 （3）常用结论：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直， 那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直. 2.直线与平面所成的角 （1）概念：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的_____， 叫作这条直线与这个平面所成的角. 锐角 （2）规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角； 如果一条直线与平面平行，或在平面内，那么称它们所成的角是 角. （3）取值范围：设直线与平面所成的角为 ，则 的取值范围是 _____. 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）平面的一条斜线和平面所成的角的取值范围是 .( ) × [解析] 平面的一条斜线和平面所成的角的取值范围是 , 任意一条直线和平面所成的角的取值范围才是 . （2）平面的一条斜线和平面内一条直线所成的锐角叫作这条直线和 这个平面所成的角.( ) × [解析] 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直 线和这个平面所成的角. （3）平面的斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内任意一条 直线所成的角中最小的角.( ) √ [解析] 如图,,斜线在平面 上的射影为, 为斜线与平面 所成的角, 为斜线与平面内除 外的任 意一条直线所成的角. 作 ,垂足为 , 则,. 因为,所以,故 . 知识点二 直线与平面垂直的判定 判定直线与平面垂直的常用方法 （1）利用直线与平面垂直的定义，即证明直线垂直于平面 内的 任意一条直线，从而得到直线平面 （一般不易验证任意性）. （2）利用直线与平面垂直的判定定理，即如果一条直线与一个平面 内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直，简记为“线线垂 直 线面垂直” . （3）利用平行线垂直平面的传递性质，即如果两条平行直线中的一 条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 . 探究点一 求直线与平面所成的角 例1 如图，在正方体 中. （1）求与平面 所成的角； 解：在正方体 中,平面 , 就是与平面 所成的角. 在中,, , ,与平面 所成的角是 . （2）求与平面 所成的角. 解：如图,连接,交于点 ,连接 . 平面, 平面, ,又,, , 平面 ,平面 , 就是与平面 所成的角. 设正方体的棱长为1,则 , ,, ,又, , 与平面所成的角是 . 变式（1） 三棱锥中，，底面 是正三角 形，且 ，则该三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值是 ( ) A. B. C. D. √ [解析] 如图所示,在三棱锥 中,因为, 所以在底面 上的射影为的中心, 连接,则底面,取的中点D, 连接,易知在 上,且， 所以即为侧棱与底面所成的角. , ,在中, , 即该三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值是 .故选C. （2）如图,在三棱柱中,底面 是等边三角形, 且 底面,若,,求直线与平面 所成角的正弦值. 解：如图,取的中点,连接, . 因为在三棱柱中,底面 是等边三角形, 所以底面 是等边三角形,从而 . 因为平面,平面 ,所以 , 又,平面, 平面 , 所以平面 ,因此为直线与平面 所成的角. 因为, ,所以 . ［素养小结］ 求 ... ...
