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课件网) 13.2 基本图形位置关系 13.2.4 平面与平面的位置关系 第2课时 二面角、两平面垂直的判定定理 探究点一 求二面角 探究点二 平面与平面垂直的判定定理的 应用 【学习目标】 1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面垂直的判定定理. 2.了解二面角及其平面角的概念. 3.能够运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题. 知识点一 二面角 1.二面角 半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每 一部分都叫作半平面 二面角相 关概念 一般地，一条直线和由这条直线出发的_____ _____的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的 棱，每个半平面叫作二面角的面 两个半平面所组成 画法 _____ _____ 记法 续表 2.二面角的平面角 定义 一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别 作_____于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平 面角 图示 _____ 符号 垂直 规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是 多少度，就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角 叫作直二面角 范围 续表 【诊断分析】 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）二面角是从一条直线出发的两个半平面所夹的角度.( ) × （2）二面角是两个平面相交时两个平面所夹的锐角.( ) × 2.二面角就是两个平面相交所形成的图形吗 解：不是,二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形, 两个平面相交能形成四个二面角. 知识点二 两个平面垂直 1.定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是_____，那么就 说这两个平面互相垂直. 直二面角 2.画法： 3.平面与平面垂直的判定定理 判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的_____，那 么这两个平面垂直 图形语言 _____ 符号语言 垂线 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）如果平面内有一条直线垂直于平面 内的一条直线,那么 .( ) × （2）如果平面内有一条直线垂直于平面 内的两条直线,那么 .( ) × （3）如果平面内的一条直线垂直于平面 内的两条相交直线,那 么 .( ) √ 探究点一 求二面角 例1（1） 在正方体中,二面角 的正切 值为( ) A. B. C. D. √ [解析] 如图,连接,与交于点 ,连接 ,, , 平面,, 为二面角的平面角. 在 中, , 即二面角 的正切值为 ,故选C. （2）三棱锥的两侧面,都是边长为 的正三角形, ,则二面角 的大小为( ) A. B. C. D. [解析] 如图,取的中点,连接, . 因为,都是边长为 的正三角形, 所以,, 因此 为二面角的平面角. 由题意知 ,又, 所以为正三角形,即 . 故选C. √ 变式 如图所示，已知三棱锥 的各棱长均为2，求二面角 的余弦值. 解：如图，取的中点，连接， ， 则， .由二面角的定义可知 为二面角 的平面角. 在中， ， 由余弦定理得 ， 即所求二面角的余弦值为 . ［素养小结］ 求二面角的平面角的大小的步骤： 简称为“一作二证三求”. 拓展 如图，在三棱锥 中， 且为正三角形，， 分 别是，的中点，若平面 平面 ， 求二面角 的余弦值. 解：如图，取的中点，连接 , 设，连接,, ， 分别是，的中点， ， ,为的中点， . 且 为正三角形， ,,,故 ， 又，分别是，的中点，， , 为二面角 的平面角. 平面 平面， , 又， ., ， 为二面角 的平面角. 设，则 ， ， . 在中， ， 即， 二面角 的余弦值为 . 探究点二 平面与平面垂直的判定定理的应用 例2 如图，在三棱柱 中， , , , .求证：平 面 平面 . 证明：如图,取的中点,连接 , , 因为, ,所以, . 因为,, , 所以,所以 , 所以, . 在中,, , , 所以 ,所以 . 因为,,, 平面 , 所以平面 ,又平面,所以平面 平面 . 变式 如图,在三棱锥中,, , ,,.求证:平面平面 . 证明：,, , 由勾股定理可得, 故 ,同理可得. 过 ... ...
