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课件网) 13.3 空间图形的表面积和体积 13.3.2 空间图形的体积 探究点一 柱体、锥体、台体的体积 探究点二 球的表面积与体积 探究点三 球的截面问题 探究点四 简单组合体的体积 【学习目标】 1.知道棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的体积计算公式. 2.知道球的表面积和体积的计算公式,能用公式计算一些简单的 与球有关的几何体的表面积和体积. 3.能用公式计算一些简单几何体及组合体的体积. 4.能用公式解决简单的实际问题. 知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式 1.柱体的体积公式____（为底面积， 为高）. 2.锥体的体积公式_____（为底面积， 为高）. 3.台体的体积公式_____（， 分别为上、下底面 面积， 为高）. 4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 . 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）底面面积相等、高相等的一个三棱柱与一个四棱柱的体积不相 等.( ) × [解析] 底面面积相等、高相等的所有棱柱的体积均相等. （2）锥体的体积是等底面面积、等高的柱体的体积的三分之一.( ) √ （3）两个正方体的体积之比为 ,则这两个正方体的棱长之比为 .( ) √ （4）圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,高缩小为原来的 ,它的体积 不变.( ) × [解析] 由圆锥的体积公式知圆锥的底面半径扩大为原来的2倍, 高缩小为原来的 ,它的体积变为原来体积的2倍. （5）圆台的上底面半径为2,下底面半径为3,高为6,则此圆台的体积为 .( ) √ 知识点二 球的表面积和体积公式 1.球的体积公式 _____. 2.球的表面积公式_____（ 为球的半径）. 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若球的半径扩大为原来的3倍,则它的表面积扩大为原来的3倍. ( ) × [解析] 由球的表面积公式知,若球的半径扩大为原来的3倍, 则它的表面积扩大为原来的9倍. （2）若三个球的半径之比为 ,则最大球的体积与最小球的体积 之和是另一个球的体积的2倍.( ) × [解析] 设三个球的半径分别为,,, 则它们的体积分别为 , , , 所以最大球的体积与最小球的体积之和为, 它是另一个球的体积的 倍. 知识点三 球体的截面的特点 1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均 为圆. 2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把 空间问题转化为平面问题的主要途径. 探究点一 柱体、锥体、台体的体积 例1（1） [2024·江苏淮安高一期末]已知某圆锥的侧面积为 ， 母线长为2，则该圆锥的体积为( ) A. B. C. D. [解析] 设圆锥的底面半径为,高为,母线长为, 则 ,由题得,解得 , 则 , 则该圆锥的体积 .故选B. √ （2）[2024·山西忻州高一期末]已知圆柱的母线长比底面半径长多 ,表面积为 ，则该圆柱的体积为( ) A. B. C. D. [解析] 设圆柱底面圆的半径为,则圆柱的母线长为 , 由圆柱的表面积为,得,可得 , 所以该圆柱的体积为 .故选C. √ （3）[2024·江苏南通高一期中]已知正四棱台 的上、 下底面边长分别为2和4，若侧棱与底面所成的角为 ， 则该正四棱台的体积为( ) A. B. C. D. √ [解析] 记正四棱台 的上、 下底面的中心分别为,,连接,, , 在平面中过作平行于,交于 , 如图所示,易知底面,所以底面, 所以 为侧棱与底面所成的角,即 . 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2和4, 所以 ,,则 , 故,即正四棱台 的高为 , 所以该正四棱台的体积为 .故选C. 变式（1） 长方体共顶点三个面的面积分别是,, ，则长方体 的体积等于( ) A.6 B. C. D.36 [解析] 设长方体共顶点的三条边的边长分别为,,，则 可得，则长方体的体积 .故选B. √ （2）已知圆台下底面的半径为，高为，母线长为 ， 则圆台的体积为_____ . [解析] 设圆台上底面半径为 ,轴截面如图所示, 过作,垂 ... ...
