微突破(二) 与球有关的内切、外接问题 【典型例题】 例1 24 [解析] 记正方体的棱长为a,外接球的半径为R,则=36π,解得R=3.因为正方体的体对角线即为外接球的直径,所以(2R)2=3a2=36,解得a=2,所以正方体的体积为a3=(2)3=24. 变式 6π [解析] 设球的半径为r,由题意,长方体的体对角线即为外接球的直径,则2r==,故这个球的表面积S=4πr2=π(2r)2=6π. 例2 4π [解析] 将矩形ABCD沿对角线AC折起,使顶点A,B,C,D都在同一个球面上,取AC的中点O,则OA=OB=OC=OD,所以该球的半径R=OA=AC=×=1,则该球的表面积S=4πR2=4π. 例3 A [解析] 因为正三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,所以将正三棱锥P-ABC放到如图所示棱长为a的正方体中,正三棱锥的外接球即为正方体的外接球.正方体的外接球的半径R==,所以外接球的表面积S=4πR2=4π×=3πa2.故选A. 变式 8π [解析] 将三棱锥S-ABC放入长、宽、高分别为a,b,c的长方体中,如图所示,则则a2+b2+c2=8.因为球O的直径即为长方体的体对角线,所以球O的半径为=,所以球O的表面积是4π×()2=8π. 例4 100π [解析] 设△A1B1C1与△ABC的外心分别为O1,O2,则线段O1O2的中点O即为直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心.设△ABC外接圆的半径为r,直三棱柱外接球的半径为R.在△ABC中,由正弦定理知=2r,解得r=3,所以R==5,则直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积S=4πR2=100π. 变式 96π [解析] 设球的半径为R,圆柱的底面半径为r,由题意可得解得所以该圆柱的体积为6×πr2=96π. 例5 40 [解析] 要使球形配件的体积最大,则球为圆锥形配件的内切球.该圆锥的轴截面为等边三角形,如图所示,设内切球的半径为r,AH=x,所以r=x,CH=x,所以V圆锥=×π·x2·x=·x3,V球=·r3=··x3=x3,设球的重量为m g,则==,解得m=40. 变式 C [解析] 设正三棱柱底面正三角形的边长为a,则正三棱柱的内切球半径等于底面正三角形的内切圆半径,则内切球的半径r=a,所以正三棱柱的高h=2r=a.设底面正三角形的外接圆半径为r1,易得r1=a,所以正三棱柱外接球的半径R===a.故正三棱柱的外接球与内切球的体积之比为π×∶π×=5∶1.故选C.微突破(二) 与球有关的内切、外接问题 1.A [解析] 由题得长方体外接球的半径R==,则其表面积S=4πR2=24π.故选A. 2.B [解析] 因为圆柱的轴截面是面积为4的正方形,所以该圆柱的底面半径为1,高为2,则该圆柱的内切球的半径为1,所以该圆柱的内切球的体积为π.故选B. 3.C [解析] 圆锥与其内切球的轴截面如图所示,由题得O1D=1,VO1=2,则 ∠O1VD=30°,所以圆锥的轴截面为正三角形,因为VO=3,所以圆锥底面圆半径AO=VO·tan 30°=,母线VA==2,则该圆锥的表面积S=π×()2+π××2=9π.故选C. 4.B [解析] 取AB的中点O,连接OC,OD.因为∠ACB=∠ADB=90°,所以OA=OB=OC=OD,所以O是四面体ABCD外接球的球心,且OA=OB=OC=OD=AB=1,所以四面体ABCD外接球的表面积为4π×12=4π.故选B. 5.B [解析] 由截面图可以看出,圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍,即可得R=3r,故①正确,②错误.圆柱的高等于球形巧克力的直径,即h=2r,V1=,V2=πR2h=18πr3,则2V2=27V1,故③错误,④正确.故选B. 6.D [解析] 由题意知正三角形ABC的边长为6,其内切圆的半径r=<2,所以正三棱柱ABC-A1B1C1内的球的半径的最大值为,则V的最大值为πr3=4π.故选D. 7.B [解析] 设球O的半径为R,∵球O的体积为π,∴=π,解得R=.∵AB=AC=1,BC=,∴cos∠CAB===-,∴∠CAB=,∴S△ABC=×12×sin =,△ABC外接圆的半径r满足2r===2,解得r=1.设球心O到直三棱柱的底面的距离为h,则h==2,∴这个直三棱柱的体积V=2h·S△ABC=2×2×=.故选B. 8.BCD [解析] 因为该正方体的棱长为,所以其体积为()3=5,表面积为6×()2=30,故A错误,C正确.该正方体的内切球的直径为,所以内切球的体积为 ... ...
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