第13章 滚动习题(七) （含解析）高中数学苏教版（2019）必修 第二册

滚动习题(七) 1.C　[解析] 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.因为AB∥A'B',AC∥A'C',所以∠BAC=∠B'A'C'或∠BAC+∠B'A'C'=180°, 又∠BAC=40°,所以∠B'A'C'=40°或140°.故选C. 2.C　[解析] 当空间中三点共线时能确定一条直线而不能确定一个平面,故A不正确;当空间中的两条直线异面时,不能确定一个平面,故B不正确;空间中的两条平行直线可以确定一个平面,故C正确;当这个点在这条直线上时,过这条直线的平面有无数个,故D不正确.故选C. 3.C　[解析] 当l与平面α相交时,在α内不存在直线与直线l平行,故①是假命题,其余均是真命题.故选C. 4.A　[解析] 如图,连接DM,取DM的中点P,连接NP,CP,又N为AD的中点,所以NP∥AM,故直线AM和CN的夹角即为直线NP和CN的夹角.CN=AM=DM=×2=,PN=AM=,CP=== =,则cos∠CNP==,故直线AM和CN夹角的余弦值为.故选A. 5.D　[解析] 如图,取AB的中点D,连接PD,QD,PQ,设PQ交平面ABC于点O,连接OD.由该双三棱锥的特征易知O为△ABC的中心,且PD⊥AB,DQ⊥AB,故∠PDQ为二面角P-AB-Q的平面角.设三棱锥的侧棱长为2,易得AB=2,PD=DQ=,OD=AB=,则PQ=2PO=2×=.在△PDQ中,由余弦定理得cos∠PDQ==-.故选D. 6.D　[解析] 如图,分别取AB,CD的中点E,F,连接PE,PF,EF,则PE⊥AB,EF⊥AB,又PE∩EF=E,PE,EF 平面PEF,所以AB⊥平面PEF,又AB 平面ABCD,所以平面PEF⊥平面ABCD.过P作EF的垂线,垂足为O,即PO⊥EF.因为平面PEF⊥平面ABCD,平面PEF∩平面ABCD=EF,PO 平面PEF,PO⊥EF,所以PO⊥平面ABCD.由题意可得PE=2,PF=2,EF=4,则PE2+PF2=EF2,即PE⊥PF,则PE·PF=PO·EF,可得PO==,所以该四棱锥的高为.故选D. 7.BC　[解析] 对于A,若m⊥l,n⊥l,则m,n可能相交,可能异面,可能平行,故A错误;对于B,由线面平行的性质定理可知若m∥α,m β,α∩β=n,则m∥n,故B正确;对于C,若m⊥α,n⊥β,α∥β,则m∥n,故C正确;对于D,若α∥β,m α,n β,则m,n异面或者平行,故D错误.故选BC. 8.BCD　[解析] 对于A,因为AB是半圆O的直径,C是半圆周上不同于A,B的任意一点,所以AC⊥BC,所以OC与AC不垂直,因为AC 平面VAC,所以OC与平面VAC不可能垂直,所以A错误;对于B,因为M,N分别为VA,VC的中点,所以MN∥AC,又因为MN 平面ABC,AC 平面ABC,所以MN∥平面ABC,所以B正确;对于C,由选项B可知MN∥AC,所以∠ACB为MN与BC所成的角,因为AC⊥BC,所以MN与BC所成的角为90°,所以C正确;对于D,因为VA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以VA⊥BC,又因为AC⊥BC,VA∩AC=A,VA,AC 平面VAC,所以BC⊥平面VAC,又因为BC 平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC,所以D正确.故选BCD. 9.若a⊥α,b∥α,则a⊥b　[解析] 过b作平面β,使得β∩α=c,∵b∥α,b β,β∩α=c,∴b∥c,又a⊥α,c α,∴a⊥c,又b∥c,∴a⊥b. 10.　[解析] ∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∠PAC=90°,即PA⊥AC,PA 平面PAC,∴PA⊥平面ABC.又AB 平面ABC,∴PA⊥AB,∴PB==. 11.π　[解析] 因为A1B1⊥平面BB1C1C,且A1P=,所以点P的轨迹是圆心为B1,半径r===的圆在△BCC1内的部分.如图①,取BC1的中点E,连接B1E,则B1E⊥BC1,且B1E=BC1=,设圆弧交BC1于M,N两点,连接B1M,B1N,如图②,则sin∠B1ME==×=,所以∠B1ME=,又因为B1M=B1N,所以△B1MN为等边三角形,所以∠MB1N=,故点P的轨迹的长度是r=×=π. 12.证明:(1)连接AC交BD于O,连接OG,如图, 因为四边形ABCD为平行四边形,所以AC,BD互相平分, 又G为FC的中点,所以OG为三角形ACF的中位线,所以AF∥OG. 因为OG 平面BDG,AF 平面BDG, 所以AF∥平面BDG. (2)因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD, 又因为CD 平面CDEF,AB 平面CDEF, 所以AB∥平面CDEF. 因为AB 平面ABFE,平面CDEF∩平面ABFE=EF,所以AB∥EF. 13.证明:(1)连接DE,如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,BC=B1C1,AA1∥BB1,AA1=BB1,又因为E是B1C1的 ... ...