第13章 滚动习题(八) （含解析）高中数学苏教版（2019）必修 第二册

滚动习题(八) 1.C　[解析] 设圆锥底面圆的半径为r,则2πr=10π,解得r=5,由题得圆锥的母线长为13,故圆锥的高为=12,故该圆锥的体积为×π×52×12=100π.故选C. 2.A　[解析] 因为正三棱锥的底面边长等于a,三条侧棱两两垂直,所以三棱锥的侧棱长为a,则它的侧面积为3××a×a=a2.故选A. 3.C　[解析] 由正六棱柱的底面边长为2,得B1E1=4,又BE1=2,所以BB1==2,则正六棱柱的表面积为2×6××2×2×sin+6×2×2=12+24.故选C. 4.B　[解析] 如图,连接AC,取AC的中点H,连接PH,则PH⊥平面ABCD,则正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O在PH上,连接OA,取BC的中点E,连接PE,HE,∵PB=PC,∴PE⊥BC,CE=BE=BC=1,HE=1,则PE=,PH=,AH=.设正四棱锥P-ABCD的外接球的半径为R,在Rt△OAH中,OA2=OH2+AH2,即R2=(-R)2+()2,解得R=,则外接球的表面积为4πR2=8π.故选B. 5.A　[解析] 依题意,圆台的母线长l=r1+r2,而π(r1+r2)l=25π,因此=25,所以r1+r2=5.故选A. 6.C　[解析] 用一个完全相同的五面体HIJ-LMN与五面体ABC-DEF组合在一起,使得D与L重合,E与M重合,F与N重合,因为AD∥BE∥CF,且两两之间的距离为1,AD=1,BE=2,CF=3,所以构成的新组合体为一个三棱柱,该三棱柱的与侧棱垂直的截面(与三条侧棱都相交)是边长为1的等边三角形,侧棱长为1+3=2+2=3+1=4,则VABC-DEF=VABC-HIJ=××1×1××4=.故选C. 7.ABD　[解析] 对于A,因为圆台的上、下底面半径分别为1和3,母线长为2,所以圆台的高为=2,则圆台的母线与底面所成的角为45°,A正确;对于B,圆台的侧面积为π×(1+3)×2=8π,B正确;对于C,圆台的体积为π(12+1×3+32)×2=π,C错误;对于D,由题意可知球心在下底面下方,设球的半径为R,球心到下底面的距离为d,由勾股定理得9+d2=1+(2+d)2=R2,解得d=1,则R=,所以该球的表面积S=4πR2=40π,D正确.故选ABD. 8.BD　[解析] 如图,取EF的中点M,连接AM,SM,过S作SO⊥AM,垂足为O,过O作ON⊥AF,垂足为N,连接SN,OE,OF,由题知AE=AF=,∴AM⊥EF,∵SE=SF=1,∴SM⊥EF,∴∠SMA为二面角A-EF-S的平面角,又SM∩AM=M,SM,AM 平面SAM,∴EF⊥平面ASM,又SO 平面ASM,∴EF⊥SO,又SO⊥AM,AM∩EF=M,AM,EF 平面AEF,∴SO⊥平面AEF,∴SO为四面体S-AEF的高,∴O为S在平面AEF上的射影.对于A,∵AF 平面AEF,SO⊥平面AEF,∴SO⊥AF,∵ON⊥AF,SO∩NO=O,SO,NO 平面SNO,∴AF⊥平面SON,又SN 平面SON,∴SN⊥AF,∴∠SNO为二面角S-AF-E的平面角,显然∠SNO为锐角,∴平面AEF与平面SAF不垂直,故A错误.对于B,由题知AS⊥SE,AS⊥SF,SE∩SF=S,SE,SF 平面SEF,∴AS⊥平面SEF,∴四面体S-AEF的体积V=S△SEF×AS=××1×1×2=,故B正确.在直角三角形ASM中,SM=, 则tan∠SMA===2,故C错误.∵AM==,SO===,OM==,AO=AM-OM=,OE==,∴cos∠EOF==-,cos∠EOA==-,·=·(-)=||||cos∠EOF-||||cos∠EOA=××-××=-+=0,∴OE⊥AF,同理得OF⊥AE,又AM⊥EF,∴O为△AEF的垂心,故D正确.故选BD. 9.6　[解析] 设棱台的高为h,则棱台的体积V=h(42+62+4×6)=152,解得h=6. 10.π　[解析] 蛋黄体积最大时可看成棱长为6 cm的正四面体ABCD的内切球,设正四面体ABCD的内切球的球心为O,球的半径为r,正四面体的表面积为S,体积为V,因为正四面体ABCD的棱长为6,所以正四面体的高h==2,正四面体的表面积S=4××62=36,因为Sr=S△ABC·h,所以×36r=××62×2,解得r=,所以蛋黄的最大体积为π×=π(cm3). 11.　[解析] 如图,连接A1B,A1C,设点A1到平面ABC的距离为d,则d即三棱柱ABC-A1B1C1的高.因为AB=1,AA1=,∠BAA1=90°, D是AA1的中点,所以BD==,AB1=,由侧面ABB1A1为矩形易得△AOD∽△B1OB,可得===,则OB=BD=,AO=AB1=,OC=OA=,因为CO⊥平面ABB1A1,OB,AO 平面ABB1A1,所以CO⊥AO,CO⊥BO,故AC==1, BC==,则S△ABC=××=,=×1×=,由=可得××CO=×S△ABC×d,解得d=,即三棱柱ABC-A1B1C1的高为. 12.解:由题意知,所求几 ... ...