4.4.1 对数函数的概念 1. 通过具体实例，了解对数函数的概念. 2. 结合具体实例，会求对数函数的解析式和定义域. 3. 从具体实例中体会对数型函数模型在实际问题中的应用． 活动一 对数函数的概念 在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题，对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究. 思考1 在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳 14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？ 思考2 根据指数与对数的关系，由y＝ax（a>0，且a≠1）可以得到x＝logay（a>0，且a≠1）吗？进而，x是y的函数吗？ 一般地，函数y＝logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 例1 若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝ ． 判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax（a＞0，且a≠1）这种形式. (1) 对数符号前面的系数是1；(2) 对数的底数是不等于1的正实数（常数）；(3) 对数的真数仅有自变量x. 例2 求下列函数的定义域： (1) y＝log3x2； (2) y＝loga(4－x) （a>0，且a≠1）. 求下列函数的定义域： (1) y＝log3(1－x)； (2) y＝； (3) y＝log7. 求函数的定义域应考虑的几种情况： 求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围．通常考虑的几种情况：(1) 中，f(x)≠0；(2) (n∈N*)中，f(x)≥0；(3) logaf(x)（a>0，且a≠1）中，f(x)>0；(4) logf(x)a(a>0)中，f(x)>0，且f(x)≠1；(5) [f(x)]0中，f(x)≠0.求抽象函数或复合函数的定义域，需正确理解函数的符号及其定义域的含义． 活动二 对数函数在实际问题中的应用 例3 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过t年后的物价为w. (1) 该地的物价经过几年后会翻一番？ (2) 填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律． 物价w 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数t 0 某企业2024年全年投入研发资金1亿元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是（参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）( ) A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 利用指数、对数函数解决应用问题： (1) 列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2) 利用指对互化转化为对数函数y＝logax； (3) 代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 1. （2024汕头月考）下列函数中，是对数函数的是( ) A. y＝x2 B. y＝log3(x－1) C. y＝log(x＋1)x D. y＝logπx 2. 若函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则实数a的值是( ) A. 1或2 B. 1 C. 2 D. a>0且a≠1 3. （多选）（2024深圳期末）下列各组函数中，是相同函数的是( ) A. f(x)＝与g(x)＝x B. f(x)＝2ln x与g(x)＝ln x2 C. f(x)＝22x与g(x)＝4x D. f(x)＝lg 与g(x)＝lg x－lg (x－1) 4. （2025北京期末）函数f(x)＝＋log2(5x－x2)的定义域是 ． 5. 已知f(x)＝logax（a>0且a≠1）的图象过点(4，2). (1) 求实数a的值； (2) 若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求函数g(x)的解析式及定义域． 4．4.1 对数函数的概念 【活动方案】 思考1：根据指数与对数的关系，由y＝(x≥0) 得到x＝logy(0
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