4.4.3　不同函数增长的差异 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

4.4.3　不同函数增长的差异 1. 掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢． 2. 理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，比较三种函数模型的性质． 3. 会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题． 活动一 理解指数函数模型的“变化趋势” 在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异． 例1　函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. (1) 请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2) 结合函数图象，判断f与g，f(2 020)与g(2 020)的大小． 三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 30 y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505 y2 5 94.478 1 785.2 33 733 6.37×105 1.2×107 2.28×108 y3 5 30 55 80 105 130 155 关于x呈指数增长的变量是　　　　． 思考1 选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞）上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？ 活动二 理解对数函数模型的“变化趋势” 思考2 选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间(0，＋∞)上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？ 例2　三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4 则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为(　　) A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3 C. y3，y2，y1 D. y1，y3，y2 三种函数的增长速度比较： (1) 在区间(0，＋∞)上，一次函数y＝kx(k>0)，对数函数y＝logax(a>1)和指数函数y＝bx(b>1)都单调递增，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上． (2) 在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，指数函数y＝bx(b>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于一次函数y＝kx(k>0)的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢． (3) 存在一个x0，使得当x>x0时，有logax