4.5.1 函数的零点与方程的解 1. 结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系． 2. 结合具体连续函数及其图象的特点，了解零点存在定理． 3. 体会并理解函数与方程的相互转化的数学思想． 活动一 函数零点的定义 在“函数的应用（一）”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法．本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法． 思考1 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，像ln x＋2x－6＝0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？ 思考2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数解，也是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．那么，函数y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？ 思考3 你能说出函数①y＝lg x；②y＝lg (x＋1)；③y＝2x；④y＝2x－2的零点吗？ 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标. 活动二 函数零点存在定理 例1 判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)内是否存在零点． 思考4 你能归纳出判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点的一般方法吗？ 思考5 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？ 思考6 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，满足了上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？ 函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但不一定有f(a)·f(b)<0.也就是说上述定理不可逆. 活动三 判断零点是否存在 例2 求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)内存在零点． 例3 求证：函数f(x)＝2x＋2x－3有零点． 函数f(x)＝3x－x2在区间[－1，0]上是否存在零点？为什么？ 活动四 判断函数零点的个数 例4 求方程ln x＋2x－6＝0的实数解的个数． 本题不用计算列表、画图象也可得到结论：(1) 寻找函数值符号的变化规律，如f(2)，f(3)的符号，因为f(2)＝ln 2－2＝ln 2－ln e2<0，f(3)＝ln 3＋0>0，所以f(2)·f(3)<0.(2) 通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论. 也就是将函数 f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数 y＝ln x与y＝－2x＋6图象的交点个数． 根据表格中的数据，可以判断方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是 ( ) x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12 x＋2 1 2 3 4 5 A. (－1，0) B. (0，1) C. (1，2) D. (2，3) 例5 求函数f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2的零点个数． 判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数． 判断函数零点个数的常用方法： (1) 解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0解的个数就是函数f(x)零点的个数． (2) 直接作出函数f(x)的图象，图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数． (3) 化函数的零点个数问题为方程g(x)＝h(x)的解的个数问题，在同一坐标系下作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数． (4) 若证明一个函数的零点唯一，也可先由零点存在定理判断出函数有零点，再证明该函数在定义域内单调． 1. （2025广州期末）在下列区间中，函数f(x)＝ex－2必有零点的是( ) A. (－1，0) B. (0，1) C. (1，2) D. (2，3) 2. （2024泸州期末）已知函数f(x)＝若方 ... ...
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