5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1) 1. 经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义． 2. 熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算． 活动一 推导两角差的余弦公式 前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的．这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换．观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和（或差）的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系．如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和（或差）的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？本节开始研究这个问题． 思考1 如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α－β的余弦吗？ 两角差的余弦公式 差角的余弦公式 cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 简记为C(α－β) 适用条件 公式中的角α，β都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反 思考2 你能利用差角的余弦公式求cos 15°的值吗？ 例1 利用公式C(α－β)证明： (1) cos ＝sin α； (2) cos (π－α)＝－cos α. 活动二 给角求值问题 例2 (1) cos 的值为( ) A. B. C. D. － (2) 求下列各式的值： ①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； ②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°. 化简下列各式： (1) cos (θ＋21°)cos (θ－24°)＋sin (θ＋21°)·sin (θ－24°)； (2) －sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. 解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1) 把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2) 在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． 活动三 给值（式）求值问题 例3 已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，求cos (α－β)的值． 思考3 若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ 思考4 利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？ 已知α，β∈，且sin α＝，cos (α＋β)＝－，求cos β的值． 给值求值的解题思路： (1) 利用两角差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式． (2) 常用的变角技巧有α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝(α＋2β)－β，α＋β＝－等． 活动四 给值求角问题 例4 已知sin (π－α)＝，cos (α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小． 已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值． “给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行： (1) 求角的某一三角函数值； (2) 确定角所在的范围（找一个单调区间）； (3) 确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定． 1. cos 等于( ) A. B. C. － D. － 2. （2024太原月考）cos 77°cos 32°＋cos 13°sin 32°等于( ) A. B. － C. D. － 3. （多选）（2024辽宁实验中学期中）若α∈[0，2π]，sin sin ＋cos cos ＝0，则α的值是( ) A. B. C. D. 4. （2024南昌月考）已知cos ＝－，－<θ<，则cos θ＝ ． 5. 已知cos α＝，α∈. (1) 求cos 的值； (2) 若sin (α＋β)＝－，β∈，求β的值． 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(2) 1. 能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式． 2. 会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 3. 熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法． 活动一 推 ... ...
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