5.6.2　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

5.6.2　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(1) 了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质． 活动一 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 由y＝sin x到y＝A sin (ωx＋φ)的过程中，其性质发生了哪些变化？请结合函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，归纳其周期、单调性及最值的变化． 函数 y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0) 定义域 R 值域 [－A，A] 周期 T＝ 对称轴方程 由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得 对称中心 由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得 单调性 增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得， 减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得 例1　已知函数y＝a－b cos (b>0)的最大值为，最小值为－. (1) 求a，b的值； (2) 求函数g(x)＝－4a sin 的最小值，并求出对应x的集合． 已知函数f(x)＝sin ，x∈R. (1) 求函数f(x)的最小正周期； (2) 求函数f(x)在区间上的最小值和最大值． 1. 函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b中影响最值的量是A的符号，b的大小以及x的范围． 2. 对于函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(y＝A cos （ωx＋φ)＋b）的最大值、最小值问题，重点在于求解函数取得最大值、最小值时相应自变量x的取值集合，这时一定要把ωx＋φ看作一个整体，将其与函数y＝sin x(y＝cos x)相类比． 活动二　熟练掌握图象的变换　 例2　(1) 要得到y＝sin 的图象，只需将y＝cos 的图象上所有的点向　　　平移　　　个单位长度； (2) 为了得到y＝3sin 的图象，只需将y＝3sin 的图象上所有点的　　　坐标变为原来的　　　　倍； (3) 将函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度，再将横坐标变为原来的，所得到的图象对应的函数解析式是　　　　． 如何由函数y＝cos x的图象得到函数y＝3cos 的图象？ 由y＝A cos ωx的图象变换成y＝A cos (ωx＋φ)的图象时，可将y＝A cos (ωx＋φ)化为y＝A·cos [ω（x＋）].由x＋与x的关系确定左右平移的方向，当>0时，向左平移个单位长度，当<0时，向右平移个单位长度． 活动三　函数y＝A sin (ωx＋φ)、y＝A cos (ωx＋φ) 和y＝A tan (ωx＋φ)图象的对称性　 例3　(1) 函数y＝sin x图象的对称轴方程是　　　　　　　　　，对称中心的坐标是　　　　　　； (2) 函数y＝3sin 图象的对称轴方程是　　　　　　　　，对称中心的坐标是　　　　　　； (3) 函数y＝cos x图象的对称轴方程是　　　　　　　　　　，对称中心的坐标是　　　　　　； (4) 函数y＝5cos 图象的对称轴方程是　　　　　　　　，对称中心的坐标是　　　　　　． 将函数y＝2sin 的图象向左平移m个单位长度，所得图象关于y轴对称，则m的最小正值是　　　　． 与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴． 函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的图象的对称中心即函数图象与x轴的交点． 函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的对称轴方程为x＝，k∈Z，对称中心为（，0），k∈Z；函数y＝A cos (ωx＋φ)图象的对称轴方程为x＝，k∈Z，对称中心为（，0），k∈Z. 例4　(1) 函数y＝tan x图象的对称中心的坐标是　　　　　　； (2) 函数y＝tan 图象的对称中心的坐标是　　　　　　． 函数y＝A tan (ωx＋φ)图象的对称中心为（，0），k∈Z. 活动四 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质的简单应用 例5　已知函数f(x)＝A sin ＋b(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为－2，相邻两条对称轴之间的距离为. (1) 求函数f(x)的解析式； (2) 当x∈时，求函数f(x)的值域； (3) 若方程f(x)＝m在区间上有两个不同的实数根，求实数m的取值范围． 1. （2025辽宁期末）已知函数f(x)＝cos 2x，函数g(x)的图象可看作f(x)的图象向左平移个单位长度得到的，则g的值为(　　) A. 0 B. C. ... ...