1.1.1 空间向量及其线性运算 学习目标 1.理解空间向量的相关概念,掌握空间向量的表示方法. 2.掌握空间向量的加法、减法、数乘运算. 3.会用图形说明空间向量加法、减法的运算律. 自主预习 知识点一:几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 的向量叫做零向量,记为0 单位 向量 的向量叫做单位向量 相反 向量 与向量a长度 而方向 的向量,叫做a的相反向量,记为-a 共线 向量 (平行 向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.我们规定:对于任意向量a,都有0∥a 相等向量 方向 且模 的向量叫做相等向量 知识点二:空间向量的线性运算 空间 向量 的线 性运 算 加法 a+b= 减法 a-b= 数乘 当λ>0时, λa=λ; 当λ<0时, λa=λ; 当λ=0时, λa=0 交换律:a+b= ; 结合律:a+(b+c)= ,λ(μa)= ; 分配律:(λ+μ)a= ,λ(a+b)= . 知识点三:共线向量 1.空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是 . 2.直线的方向向量 在直线l上取非零向量a,我们把与向量a平行的非零向量叫做直线l的 . 知识点四:共面向量 1.共面向量 如图,如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l 或 ,那么称向量a平行于直线l.如果直线OA 于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫做 . 2.向量共面的充要条件 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 . 课堂探究 [导入新课] 如图,一块均匀的正三角形钢板,三顶点用等长的绳子绑起,在力F的作用下静止,三根绳子的受力情况如何 思考1:通过这个实验,你能发现正三角形钢板受到的三个力的特点吗 [讲授新课] 与平面向量一样,在空间,我们把具有 和 的量,叫做空间向量. 合作探究一:平面向量与空间向量有关概念 思考2:空间向量的有关概念如何定义呢 探究成果如下表. 内容 平面向量 空间向量 概念 画法及其表示 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 【小试牛刀】 例1 (1)判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) ①零向量与任意向量平行. ( ) ②向量的长度与向量的长度相等. ( ) ③空间向量a用几何表示法表示时,表示该向量的有向线段的起点可任意选取. ( ) (2)如图,在以长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的任意两个顶点为起点和终点的向量中: ①单位向量共有多少个 ②试写出的相反向量. 跟踪训练 1.下列命题中,假命题是( ) A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.单位向量都相等 2.向量a,b互为相反向量,已知|b|=3,则下列结论正确的是( ) A.a=b B.a+b为实数0 C.a与b方向相同 D.|a|=3 合作探究二:空间向量的加法、减法运算及运算律 思考3:在平行四边形OABC中,由平行四边形法则可知,,类比平行四边形中的结论,那么在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,体对角线如何表示 = . 思考4:任意两个空间向量是否一定是共面向量 总结: . 探究成果:(1)加法运算 ①平行四边形法则: ; ②三角形法则: . 注:首尾相接,起点指向终点. 推广:+…+= . 即:首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. (2)减法运算: . 注:减向量的终点指向被减向量的终点. (3)空间向量加法的运算律 思考5:平面向量的加法运算符合交换律和结合律,空间向 ... ...
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