课时分层训练(六) 实际问题与二次函数 知识点一 面积问题 1．用总长为a m的材料做成如图(1)所示的矩形窗框，设窗框的宽为x m，窗框的面积为y m2，y关于x的函数图象如图(2)，则a的值是( B ) 第1题图 A．16 B．12 C．8 D．4 2．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为14 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( B ) A．50 m2 B．49 m2 C．46 m2 D．48 m2 3．已知直角三角形两条直角边的和等于20，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 解：设直角三角形的一条直角边长为x，则另一条直角边长为(20－x)，其面积为y，则y＝x·(20－x)＝－x2＋10x＝－(x－10)2＋50． 因为－<0， 所以当x＝10时，面积y取最大值，y最大＝50． 知识点二 利润问题 4．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，当销售单价定为13.5元时，销售量是500件，而销售单价每降低1元就可多售出200件．若销售单价为x元时，获得的利润为y元，则y关于x的函数解析式为( D ) A．y＝(6－x)(500＋x) B．y＝(13.5－x)(500＋200x) C．y＝(6－x)(500＋200x) D．y＝(x－7.5)[500＋200(13.5－x)] 5．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价定为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．当销售单价为 35 元时，该文具每天的销售利润最大． 6．某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本)，成功研发出一种产品．公司按订单生产(产量＝销售量)，第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数y＝－x＋26． (1)求这种产品第一年的利润w1(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式； (2)如果该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？ (3)第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润w2至少为多少． 解：(1)w1＝(x－6)(－x＋26)－80＝－x2＋32x－236． (2)由题意，得20＝－x2＋32x－236， 解得x1＝x2＝16． 答：该产品第一年的售价是16元． (3)由题意，可知销售量无法超过12万件，即－x＋26≤12，解得x≥14．∴14≤x≤16． w2＝(x－5)(－x＋26)－20＝－x2＋31x－150， ∴抛物线的对称轴为x＝15.5． 又∵14≤x≤16， ∴当x＝14时，w2有最小值，最小值为88万元． 答：该公司第二年的利润w2至少为88万元． 知识点三 抛物线形问题 7．如图，若被击打的小球飞行高度h(单位： m)与飞行时间t(单位： s)满足函数关系h＝24t－4t2，则小球从飞出到落地所用的时间为( D ) A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s 8．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A处的水平距离为1 m处达到最高点C，高度为3 m，水柱落地点D距离池中心A处4 m，则水管的顶端B距离水面的高度AB为( D ) A．2 m B． m C． m D． m 9．如图，某大学的校门是一个抛物线形的水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面4 m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环间的水平距离为6 m．求校门的高．(结果精确到0.1 m，水泥建筑物厚度忽略不计) 解：以大门地面为x轴、以它的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则抛物线过(－4，0)，(4，0)，(－3，4)三点． ∵抛物线关于y轴对称，∴设解析式为y＝ax2＋c．∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋． ∴抛物线的顶点坐标为， 即校门的高为 m≈9.1 m． 10．已知学校航模组设计制作的火箭升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数h＝－t2＋24t＋1，则下列说法中正确的是( C ) ... ...
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