课时分层训练(四) 锐角三角函数 知识点一 正切 1．如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，则tan B的值为( B ) A． B． C． D． 解析：由图，得AC＝4，BC＝3. ∵∠C＝90°， ∴tan B＝＝. 2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，则tan B＝ ． 知识点二 坡度(坡比)与正切的关系 3．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5 m，迎水坡AB的坡比为1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是( A ) A．5 m B．10 m C．15 m D．10 m 4．如图，某山坡的坡面AB＝200 m，坡角∠BAC＝30°，则该山坡的高BC的长为 100 m. 知识点三 正弦与余弦 5．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cos B＝等于( C ) A． B． C． D． 6．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sin B＝0.5.若AC＝6，则BC的长为( C ) A．8 B．12 C．6 D．12 知识点四 锐角三角函数 7．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值( D ) A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．没有变化 8．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝15.求： (1)AB的长； (2)sin A，cos A的值． 解：(1)由勾股定理，得AB＝＝3. (2)sin A＝＝＝，cos A＝＝＝. 9．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E，cos ∠ADE＝，AB＝4，则AD的长为( C ) A．3 B． C． D． 解析：∵DE⊥AC， ∴∠ADE＋∠CAD＝90°. ∵∠ACD＋∠CAD＝90°， ∴∠ACD＝∠ADE. ∵矩形ABCD的对边AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠ADE. ∵cos ∠ADE＝， ∴cos ∠BAC＝， ∴＝， ∴AC＝AB＝. 由勾股定理，得BC＝ ＝＝. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝. 10．在△ABC中，∠B，∠C 均为锐角，其对边分别为b，c，求证：＝. 证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D. 在Rt△ABD中，sin B＝， ∴AD＝AB·sin B. 在Rt△ADC中，sin C＝， ∴AD＝AC·sin C， ∴AB·sin B＝AC·sin C， 即c sin B＝b sin C， ∴＝. 11．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10 cm，BC＝9 cm，△ABC的面积为.求tan B的值． 解：如图，过点A作AH⊥BC于点H. ∵S△ABC＝27 cm2， ∴×9AH＝27， ∴AH＝6 cm. ∵AB＝10 cm， ∴BH＝＝ ＝8(cm)， ∴tan B＝＝＝. 12．[实践探究] (1)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan A的值．小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至点D，使得DA＝AB，连接BD，得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值．请按小明的思路求tan A的值． [拓展延伸] (2)如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tan A＝，求tan 2A的值． 解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1， ∴AB＝＝. 由题意知AD＝AB＝， ∴∠D＝∠ABD， ∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD＋AC＝2＋， ∴tan A＝tan ∠BAC＝tan D＝＝＝－2. (2)如图，作AB的垂直平分线EF，交AB于点F，交AC于点E，连接BE. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tan A＝＝， ∴BC＝AC·tan A＝3×＝1. 设CE＝x，则AE＝BE＝3－x. 在Rt△BEC中，由勾股定理， 得BE2＝CE2＋BC2， 即(3－x)2＝x2＋12， 解得x＝. 在Rt△BEC中，tan ∠BEC＝＝＝. ∵EF是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠A＝∠ABE， ∴∠BEC＝∠A＋∠ABE＝2∠A， ∴tan 2A＝tan ∠BEC＝. 【创新运用】 13．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，求的值和 tan ∠APD的值． 解：如图，连接BE交CD于点F. ∵四边形BCED是正方形， ∴DB∥AC， ∴△DBP∽△CAP， ∴＝＝3. ∵四边形BCED是正方形， ∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD， ∴BF＝CF. 由△DBP∽△CAP， 得DP∶CP＝BD∶AC＝1∶3， ∴DP∶DF＝1∶2， ∴DP＝PF＝CF＝BF. 在Rt△PBF中，tan ∠BPF＝＝2. ∵∠APD＝∠BPF， ∴tan ... ...
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