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课件网) 1.3.2空间向量运算的坐标表示 在空间直角坐标系O-xyz中，对 任意向量p，必存在唯一的有序实数 组(x、y、z)，可使 p=xe1+ye2+ze3 其中，e1，e2，e3是以原点为起点的 单位正交基底，有序数组(x、y、z) 叫做向量p的坐标，记为p=(x、y、z) 特别地，若平移向量p，使p的起点与原点重合， 则p的终点的坐标为(x、y、z) 空间向量的坐标： x y z O P A B P′ 复习巩固 向量的坐标=(x、y、z) 终点的坐标P(x、y、z) 一一对应 前面我 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来. 那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 情境引入 向量的坐标=(x、y、z) 终点的坐标P(x、y、z) 一一对应 类 比 平面向量坐标运算1 --加减、数乘运算 已知 ,则 空间向量坐标运算1 --加减、数乘运算 已知 ,则 探究新知 平面向量坐标运算2 --数量积 已知 ,则 空间向量坐标运算2 --数量积 已知 ,则 类 比 探究新知 = ; = ; a1b1+a2b2+a3b3 a1b1+a2b2 下面证明：空间向量数量积运算的坐标表示 设 为空间的一个单位正交基底,则： 得到 利用向量数量积的分配律以及 探究新知 所以a b=(a1i+a2j+a3k) (b1i+b2j+b3k) i j=j k=k i=0;i2=j2=k2=1 a b=a1b1+a2b2+a3b3 平面向量坐标运算3 --共线与垂直判定 已知 ,则 当 时 空间向量坐标运算3 --共线与垂直判定 已知 ,则 当 时 类 比 探究新知 平面向量坐标运算4 --模长公式 已知 ,则 空间向量坐标运算4 --模长公式 已知 ,则 类 比 探究新知 平面向量坐标运算5 --夹角公式 已知 ,则 空间向量坐标运算5 --夹角公式 已知 ,则 类 比 探究新知 空间向量坐标运算6 --两点间距离公式 已知 ,则 平面向量坐标运算6 --两点间距离公式 已知 ,则 类 比 探究新知 空间中两点间距离公式的推导 如图，建立空间直角坐标系 设 是空间中任意两点，则 于是 所以 x y z O i j k P2 P1 探究新知 空间向量的坐标=终点坐标-起点坐标 两点间的距离公式 平面向量的坐标运算 空间向量的坐标运算 将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单. 1. 已知 求: 2. 已知 求x的值. 课堂练习 课本P21练习1、2 例2 如图示，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，E, F分别是BB1, D1B1的中点， 求证：EF⊥DA1. 典例分析 证明：如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系Oxyz,设正方体的棱长为2，则有： (1) 建立直角坐标系 (2)把点、向量坐标化 (3)对向量计算或证明 (4)结论 还有什么方法可以求向量 O A D C B A1 D1 C1 B1 E F 例2 如图示，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，E, F分别是BB1, D1B1的中点， 求证：EF⊥DA1. 典例分析 证明：如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系Oxyz,设正方体的棱长为2，则有： 还有什么方法可以求向量 求向量的坐标有两种方法： （1）向量的线性运算； （2）终点坐标减去起点坐标。 O A D C B A1 D1 C1 B1 E F A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 例3 如图示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上， (1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. 典例分析 求两条异面直线所成角的问题，常以空间向量数量积为工具，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围。 思考：你能从例3的解答中体会解决此类问题的基本思路吗？ 建立恰当坐标系 由运算结果定结论 用向量表示元素 进行向量坐标运算 简记：建系→点坐标→向量坐标→代入公式求解 解题策略 3. 在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2) ... ...
